Как изменится частота колебаний математического маятника, если длину его нити увеличить в 9 раз; уменьшить в 25 раз?
1. Дано:
$l_{2} = 9l_{1}$.
Найти:
$\frac{ν_{1}}{ν_{2}}$ − ?
Решение:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$ν = \frac{1}{T} = \frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{l}}$;
$\frac{ν_{1}}{ν_{2}} = \frac{\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{l_{1}}}}{\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{l_{2}}}} = \sqrt{\frac{l_{2}}{l_{1}}}$;
$\frac{ν_{1}}{ν_{2}} = \sqrt{\frac{9l_{1}}{l_{1}}} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: Частота уменьшится в 3 раза.
2. Дано:
$l_{1} = 25l_{2}$.
Найти:
$\frac{ν_{2}}{ν_{1}}$ − ?
Решение:
$T = 2π\sqrt{\frac{l}{g}}$;
$ν = \frac{1}{T} = \frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{l}}$;
$\frac{ν_{2}}{ν_{1}} = \frac{\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{l_{2}}}}{\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{l_{1}}}} = \sqrt{\frac{l_{1}}{l_{2}}}$;
$\frac{ν_{2}}{ν_{1}} = \sqrt{\frac{25l_{2}}{l_{2}}} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: Частота увеличится в 5 раз.
В данной задаче рассматривается математический маятник. Математический маятник — это идеализированная система, которая состоит из материальной точки массой $m$, подвешенной на нерастяжимой, невесомой и неупругой нити длиной $L$. Колебания маятника происходят под действием силы тяжести.
Основная характеристика математического маятника — его период колебаний $T$, который в случае малых колебаний определяется формулой:
$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$
где:
− $T$ — период колебаний (время одного полного колебания),
− $L$ — длина нити маятника,
− $g$ — ускорение свободного падения (приблизительно $9.81 \, \text{м/с}^2$ на поверхности Земли).
Частота колебаний $f$ связана с периодом колебаний следующим образом:
$$ f = \frac{1}{T} $$
Таким образом, для частоты колебаний маятника можно записать:
$$ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}} $$
Из данной формулы видно, что частота колебаний $f$ зависит от длины нити $L$. В частности, частота обратно пропорциональна квадратному корню из длины нити. Это означает, что если длина нити изменяется, то это приведет к изменению частоты колебаний в соответствии с законом обратной пропорциональности.
Теперь рассмотрим, как именно изменится частота при изменении длины нити:
$$ f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{9L}} = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{3} \sqrt{\frac{g}{L}} = \frac{f}{3} $$
Это значит, что частота колебаний уменьшится в 3 раза.
$$ f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{\frac{L}{25}}} = \frac{1}{2\pi} \cdot 5 \sqrt{\frac{g}{L}} = 5f $$
Это значит, что частота колебаний увеличится в 5 раз.
Таким образом, изменение длины нити прямо влияет на частоту колебаний математического маятника, как показано через обратную зависимость от квадратного корня длины.
Пожауйста, оцените решение
