Изменится ли частота колебаний тела, подвешенного на пружине при увеличении массы тела в 4 раза; в 9 раз?

Для анализа этой задачи нужно использовать теорию, связанную с колебаниями тела на пружине, в частности рассмотрение закона гармонических колебаний. Колебания такого типа описываются законом Гука, а частота колебаний определяется через соотношение параметров системы.

1. Основные понятия колебаний пружины:

   • Когда тело подвешено на вертикальной пружине, система совершает гармонические колебания. Это происходит благодаря взаимодействию силы упругости пружины и инерции массы тела.
   • Согласно закону Гука, сила упругости пропорциональна удлинению пружины: $ F = -kx $, где $ k $ — жёсткость пружины, $ x $ — отклонение от положения равновесия.

2. Формула для частоты колебаний:

   • Частота определяется как число колебаний в единицу времени. Она связана с циклической частотой $ \omega $ по формуле: $$ f = \frac{\omega}{2\pi}. $$
   • Циклическая частота гармонических колебаний тела на пружине определяется через массу $ m $ и жёсткость $ k $ пружины: $$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. $$
   • Следовательно, частота $ f $ выражается как: $$ f = \frac{1}{2\pi} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}. $$

3. Влияние массы на частоту колебаний:

   • Из формулы видно, что частота колебаний обратно пропорциональна квадратному корню из массы тела: $$ f \propto \frac{1}{\sqrt{m}}. $$
   • Когда масса тела увеличивается, частота уменьшается, потому что увеличивается инерция системы. Это замедляет колебания.

4. Зависимость частоты от изменения массы:

   • Если масса увеличивается в несколько раз, частота изменяется следующим образом:
   • Пусть масса увеличилась в $ n $ раз: $ m' = n \cdot m $.
   • Новая частота $ f' $ будет: $$ f' = \frac{1}{2\pi} \cdot \sqrt{\frac{k}{m'}} = \frac{1}{2\pi} \cdot \sqrt{\frac{k}{n \cdot m}}. $$
   • Отношение новой частоты к исходной: $$ \frac{f'}{f} = \sqrt{\frac{m}{n \cdot m}} = \frac{1}{\sqrt{n}}. $$
   • Это означает, что частота уменьшается в $ \sqrt{n} $ раз.

5. Применение к задаче:

   • Если масса увеличивается в 4 раза ($ n = 4 $): $$ f' = \frac{f}{\sqrt{4}} = \frac{f}{2}. $$ Частота уменьшится в 2 раза.
   • Если масса увеличивается в 9 раз ($ n = 9 $): $$ f' = \frac{f}{\sqrt{9}} = \frac{f}{3}. $$ Частота уменьшится в 3 раза.

Таким образом, задача требует рассмотрения влияния изменённой массы на частоту колебаний, что можно понять через приведённые теоретические рассуждения.