Велосипедист едет по дороге и видит, что на его пути находится препятствие − стена. Что надо сделать велосипедисту, чтобы избежать аварии − затормозить или повернуть (т.е. в каком случае он пройдёт меньшее расстояние по направлению к стене)? Учесть, что одновременно тормозить и поворачивать велосипедист не может.

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо рассмотреть основные физические принципы, связанные с движением велосипедиста, торможением и поворотом. Вот подробная теоретическая часть, которая позволит понять, в каком случае велосипедист пройдет меньшее расстояние по направлению к стене:

1. Прямолинейное движение и торможение:
   • При движении велосипедиста по прямой с начальной скоростью $ v_0 $, его движение можно описать уравнением для равноускоренного движения, если он начинает тормозить. Тормозное ускорение $ a_t $ направлено противоположно скорости.
   • Уравнение для нахождения пути $ S $, который преодолеет велосипедист до полной остановки: $$ S = \frac{v_0^2}{2 a_t} $$ где:
   • $ v_0 $ — начальная скорость велосипедиста,
   • $ a_t $ — модуль тормозного ускорения.

Чем больше тормозное ускорение, тем меньше расстояние, которое пройдет велосипедист до остановки. Если тормозное ускорение достаточно велико, то это может быть одним из эффективных способов избежать столкновения со стеной.

1. Поворот и изменение траектории движения:
   • Если велосипедист решит повернуть, его движение будет описываться вращением вокруг центра поворота. Во время поворота велосипедист движется по дуге окружности, и его траектория отклоняется от прямолинейного пути.
   • Радиус поворота $ R $ зависит от скорости велосипедиста $ v_0 $ и силы трения между колесами и дорогой. Центростремительное ускорение, необходимое для поворота, определяется как: $$ a_c = \frac{v_0^2}{R} $$ где:
   • $ a_c $ — центростремительное ускорение,
   • $ R $ — радиус поворота,
   • $ v_0 $ — скорость велосипедиста.

Радиус поворота $ R $ связан с предельной боковой силой трения, которая можно выразить через коэффициент трения $ \mu $ и нормальную силу $ F_N $ (обычно равную весу велосипедиста и велосипеда):
$$ R = \frac{v_0^2}{\mu g} $$
где:
− $ g $ — ускорение свободного падения,
− $ \mu $ — коэффициент трения между колесами и дорогой.

Чем меньше радиус поворота, тем быстрее велосипедист отклонится от прямолинейной траектории, и тем меньшее расстояние он преодолеет по направлению к стене. Однако на слишком малом радиусе поворота может произойти занос или падение велосипедиста из−за недостаточной трения.

1. Сравнение торможения и поворота:

   • При торможении велосипедист останавливается полностью, и его движение прекращается. Таким образом, расстояние, пройденное по направлению к стене, будет равно тормозному пути $ S $, определяемому формулой выше.
   • При повороте велосипедист продолжает движение, но его траектория отклоняется. Расстояние, пройденное по направлению к стене, зависит от угла отклонения траектории и радиуса поворота. Чем больше угол отклонения, тем меньшее расстояние будет пройдено по направлению к стене.

2. Факторы, влияющие на выбор действия:

   • Скорость $ v_0 $: Чем выше начальная скорость, тем больше тормозной путь и радиус поворота.
   • Коэффициент трения $ \mu $: При высоком коэффициенте трения тормозной путь сокращается, и радиус поворота уменьшается, что позволяет эффективнее поворачивать.
   • Время реакции велосипедиста: В реальной ситуации важно учитывать, сколько времени потребуется велосипедисту, чтобы начать тормозить или поворачивать.
   • Угол между направлением движения и стеной: Если стена расположена под углом к траектории велосипедиста, то поворот может быть более эффективным, чем торможение.

Таким образом, для решения задачи необходимо сравнить тормозной путь $ S $, который зависит от скорости $ v_0 $ и ускорения $ a_t $, с расстоянием, пройденным по направлению к стене при повороте, которое зависит от радиуса поворота $ R $ и угла отклонения траектории.