Докажите, что при одинаковой начальной скорости тормозной путь гружёного и негружёного автомобилей одинаков. Считать постоянным коэффициент сопротивления движению.

Чтобы доказать, что при одинаковой начальной скорости тормозной путь гружёного и негружёного автомобилей одинаков, нужно рассмотреть физические законы, которые описывают движение автомобилей при торможении. Эти законы включают второй закон Ньютона, работу сил и кинетическую энергию.

1. Основы кинетической энергии Любое движущееся тело обладает кинетической энергией, которая рассчитывается по формуле: $ E_k = \frac{1}{2} m v^2 $, где $ m $ — масса тела, $ v $ — скорость тела.

Кинетическая энергия автомобиля зависит от его массы $ m $ и начальной скорости $ v $. Когда автомобиль начинает тормозить, его кинетическая энергия полностью преобразуется в работу силы трения тормозов и силы сопротивления движению.

1. Сила трения Когда автомобиль тормозит, его тормозной путь определяется работой силы трения покрышек о дорогу. Сила трения рассчитывается как: $ F_{\text{тр}} = \mu m g $, где $ \mu $ — коэффициент сопротивления движению (или коэффициент трения), $ g $ — ускорение свободного падения (приблизительно $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $), $ m $ — масса автомобиля.

Сила трения пропорциональна массе автомобиля и коэффициенту трения, а коэффициент трения считается постоянным в задаче.

1. Работа силы трения Работа силы трения при торможении автомобиля равна: $ A = F_{\text{тр}} \cdot S $, где $ S $ — тормозной путь автомобиля.

Поскольку работа силы трения полностью преобразует кинетическую энергию автомобиля в тепло, можно записать равенство:
$ A = E_k $.

Подставляя выражения для $ A $ и $ E_k $, получаем:
$ \mu m g S = \frac{1}{2} m v^2 $.

1. Упрощение уравнения Масса автомобиля $ m $ присутствует как в левой, так и в правой части уравнения. Сократив $ m $, получаем: $ \mu g S = \frac{1}{2} v^2 $.

Решая уравнение относительно $ S $, находим:
$ S = \frac{v^2}{2 \mu g} $.

1. Анализ зависимости тормозного пути Из полученной формулы видно, что тормозной путь $ S $ зависит только от начальной скорости $ v $, коэффициента трения $ \mu $ и ускорения свободного падения $ g $. Масса автомобиля в этой формуле отсутствует, что означает, что гружёный и негружёный автомобиль с одинаковой начальной скоростью будут иметь одинаковый тормозной путь при одинаковом коэффициенте трения.

Таким образом, доказано, что масса автомобиля не влияет на длину тормозного пути в данном случае.