Используя закон сохранения энергии, решите задачу Гюйгенса: докажите, что «подвешенный на нити к центру вертикального круга шар не может вращаться по этому кругу, если нить не в состоянии выдержать силу натяжения, превышающую вес шара в 6 раз».

Для решения задачи необходимо использовать закон сохранения энергии и рассмотреть силы, действующие на шар в процессе его движения. В этом случае важно понять, как энергия преобразуется и какие силы действуют на шар в различных точках траектории.

1. Закон сохранения энергии: Этот закон утверждает, что полная механическая энергия системы остается постоянной, если отсутствуют силы трения или другие невозвратные потери энергии. Полная механическая энергия системы состоит из кинетической энергии $ E_k $ и потенциальной энергии $ E_p $.

$$ E_{\text{полн}} = E_k + E_p = \text{const}. $$

1. Кинетическая энергия:
   Кинетическая энергия тела зависит от его массы и скорости движения:
   $$ E_k = \frac{1}{2}mv^2, $$
   где $ m $ — масса шара, $ v $ — его скорость.

2. Потенциальная энергия:
   Потенциальная энергия определяется высотой, на которой находится тело относительно выбранного уровня отсчета:
   $$ E_p = mgh, $$
   где $ h $ — высота, $ g $ — ускорение свободного падения.

3. Силы, действующие на шар:
   На шар, движущийся по круговой траектории, действуют две основные силы:

4. Сила тяжести $ F_{\text{тяж}} = mg $, которая направлена вертикально вниз.

5. Сила натяжения нити $ T $, которая меняется в зависимости от положения шара на траектории.

В момент прохождения шаром нижней точки круга его скорость максимальна, так как вся потенциальная энергия, накопленная в верхней точке, преобразуется в кинетическую. В верхней точке, наоборот, скорость минимальна.

1. Условия движения по кругу: Для того чтобы шар мог совершать круговое движение, на него должна действовать достаточная сила, чтобы удерживать его на круговой траектории. Эта сила называется центростремительной. Ее величина выражается формулой: $$ F_{\text{ц}} = \frac{mv^2}{R}, $$ где $ R $ — радиус круга, $ v $ — скорость шара.

Центростремительная сила обеспечивается за счет комбинации силы тяжести $ F_{\text{тяж}} $ и силы натяжения нити $ T $:
$$ F_{\text{ц}} = T + F_{\text{тяж}}. $$

1. Анализ ситуации в верхней точке: В верхней точке круга сила тяжести $ F_{\text{тяж}} $ и сила натяжения $ T $ обе направлены вниз. Для сохранения кругового движения, центростремительная сила должна быть равна сумме этих двух сил. То есть: $$ \frac{mv^2}{R} = T + mg. $$

Если сила натяжения $ T $ недостаточна, шар не сможет удержаться на круговой траектории, и движение в верхней точке станет невозможным.

1. Анализ ситуации в нижней точке: В нижней точке круга сила тяжести $ F_{\text{тяж}} $ и сила натяжения $ T $ направлены в противоположные стороны. Для сохранения кругового движения сила натяжения должна быть равна: $$ T = \frac{mv^2}{R} - mg. $$

Здесь $ T $ — максимально возможная сила натяжения нити, которая должна выдержать натяжение даже в критической точке траектории.

1. Условие на прочность нити:
   Нить в задаче может выдерживать силу натяжения, не превышающую вес шара в 6 раз. Это означает, что:
   $$ T_{\text{макс}} \leq 6mg. $$

2. Использование закона сохранения энергии:
   Полная механическая энергия шара остается постоянной. Если в верхней точке круга скорость шара минимальна ($ v_{\text{min}} $), а высота максимальна ($ h = 2R $), то:
   $$ E_{\text{полн}} = E_k^{\text{верх}} + E_p^{\text{верх}} = \frac{1}{2}mv_{\text{верх}}^2 + 2mgR. $$

В нижней точке ($ h = 0 $, $ v_{\text{макс}} $):
$$ E_{\text{полн}} = E_k^{\text{низ}} + E_p^{\text{низ}} = \frac{1}{2}mv_{\text{низ}}^2. $$

1. Заключительный анализ: На основе соотношений между силами и энергиями можно определить, при каком условии сила натяжения нити не превысит её допустимое значение. Если $ T $ в какой−либо точке траектории оказывается больше $ 6mg $, движение по кругу становится невозможным.