Галилей установил, что при скатывании шара с различных по длине и углу наклона плоскостей, имеющих одну и ту же высоту, шар имел одну и ту же скорость у основания наклонной плоскости. Объясните этот результат опыта.

Для объяснения результата опыта Галилея нужно обратиться к основным принципам классической механики, в частности, к закону сохранения энергии. Рассмотрим теоретические аспекты, связанные с движением тела по наклонной плоскости.

1. Потенциальная энергия Потенциальная энергия — это энергия, которую тело обладает благодаря своему положению в пространстве относительно некоторой выбранной точки отсчета. Формула для потенциальной энергии:

$$ E_{\text{п}} = mgh, $$
где:
− $m$ — масса тела,
− $g$ — ускорение свободного падения, примерно $9.8 \, \text{м/с}^2$,
− $h$ — высота тела относительно земли.

1. Кинетическая энергия Кинетическая энергия — это энергия, связанная с движением тела. Формула для кинетической энергии:

$$ E_{\text{к}} = \frac{1}{2}mv^2, $$
где:
− $v$ — скорость тела,
− $m$ — масса тела.

1. Закон сохранения энергии В замкнутой системе, где отсутствуют потери энергии, например, на трение, полная механическая энергия сохраняется. Полная механическая энергия тела состоит из потенциальной и кинетической энергий:

$$ E_{\text{полная}} = E_{\text{п}} + E_{\text{к}}. $$

Если тело начинает движение с некоторой высоты $h$, его потенциальная энергия в верхней точке будет максимальной, а кинетическая энергия — равной нулю, так как скорость $v = 0$. В процессе скатывания потенциальная энергия переходит в кинетическую. У основания наклонной плоскости высота становится равной нулю ($h = 0$), а вся энергия тела превращается в кинетическую:

$$ E_{\text{полная}} = E_{\text{к}} \quad \text{при } h = 0. $$

1. Связь высоты и скорости Поскольку потенциальная энергия в верхней точке равна кинетической энергии в нижней точке, можно записать:

$$ mgh = \frac{1}{2}mv^2. $$

Масса $m$ сокращается, так как она присутствует в обеих частях уравнения:

$$ gh = \frac{1}{2}v^2. $$

Отсюда выражается скорость $v$ у основания наклонной плоскости:

$$ v = \sqrt{2gh}. $$

Видно, что скорость тела у основания зависит только от высоты плоскости $h$ и ускорения свободного падения $g$, но не зависит от длины наклонной плоскости или её угла наклона.

1. Результат опыта Галилея
   Галилей установил, что скорость шара у основания плоскости всегда одинакова, если высота наклонной плоскости остаётся неизменной. Это можно объяснить следующим образом:

   • Независимо от длины плоскости или её угла наклона, высота $h$ остаётся единственным параметром, определяющим потенциальную энергию шара в исходной точке.
   • Потенциальная энергия целиком превращается в кинетическую к моменту достижения основания плоскости, а кинетическая энергия, в свою очередь, определяет скорость шара.
   • Таким образом, при одинаковой высоте $h$ скорость шара у основания будет одинаковой, независимо от характеристик наклонной плоскости.

2. Факторы, которые не влияют на результат

   • Угол наклона плоскости: он лишь определяет, как долго шар будет двигаться, но не влияет на конечную скорость.
   • Длина наклонной плоскости: она влияет на время движения, но не изменяет итоговую скорость у основания.

Именно эти наблюдения позволили Галилею прийти к выводу, что движение тела под действием силы тяжести определяется только его начальной высотой, а не траекторией или углом наклона.