Тело массой m соскальзывает с полусферы радиусом R (рис. 273). Найдите силу давления тела на поверхность полусферы в положении М, соответствующем углу α. На какой высоте h от вершины тело оторвётся от поверхности полусферы? Трение не учитывать.
Задание рисунок 1
рис. 273

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Решение

reshalka.com

ГДЗ Физика 7-9 классы сборник вопросов и задач к учебнику Перышкина автор Марон. Закон сохранения механической энергии. Номер №1753

Решение

Дано:
m;
R;
α.
Найти:
$F_{д}$ − ?
h − ?
Решение:
Решение рисунок 1
Для нахождения высоты h нам требуется определить линейную скорость тела V. Для этого воспользуемся вторым законом Ньютона. В момент отрыва тела от поверхности полусферы на него действует только сила тяжести , а сила реакции опоры становится равной нулю. Допустим это произойдет в момент, когда прямая, соединяющая тело и центр полусферы, составляет с вертикалью угол α. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось y, которая совпадает с упомянутой прямой.
$−mg * cosα + N = – ma_{ц}$;
$a_{ц} = \frac{v^{2}}{R}$;
Т.к. N = 0, то
$mg * cosα = \frac{mv^{2}}{R}$;
$mv^{2} = Rmgcosα$;
$v^{2} = \frac{ Rmgcosα}{m} = Rgcosα$;
По закону сохранения механической энергии потенциальная энергия тела на вершине полусферы, т.е. на высоте, равной радиусу полусферы R, равна сумме его потенциальной и кинетической энергий в любой другой точке, и значит, и в момент отрыва тела на высоте h:
$E_{п0} = E_{п} + E_{к}$;
$E_{п0} = mgR$;
$E_{п} = mgRcosα$;
$E_{к} = \frac{mv^{2}}{2}$;
$mgR = mgRcosα + \frac{mv^{2}}{2}$;
$\frac{mv^{2}}{2} = mgR - mgRcosα = mgR * (1 - cosα)$;
$mv^{2} = 2mgR * (1 - cosα)$;
$v^{2} = \frac{2mgR * (1 - cosα)}{m} = 2gR * (1 - cosα)$;
Найдем силу давления тела на поверхность полусферы в положении М:
$F_{д} = N = mg * cosα – ma_{ц} = mg * cosα – m * \frac{v^{2}}{R} = mg * cosα – \frac{m}{R} * 2gR * (1 - cosα)= mg * (cosα - 2 * (1 - cosα)) = mg * (cosα - 2 + 2cosα)) = mg * (3cosα - 2)$ ;
Найдем высоту h от вершины, на уровне которой тело оторвётся от поверхности полусферы:
$v^{2} = Rgcosα = 2gR * (1 - cosα)$;
Rgcosα = 2gR − 2gRcosα;
3Rgcosα = 2gR;
$cosα = \frac{2gR}{3gR} = \frac{2}{3}$;
$h = R - Rcosα = R - \frac{2}{3}R = \frac{1}{3}R$.
Ответ: $mg * (3cosα - 2); \frac{1}{3}R$.

Теория по заданию

Чтобы решить эту задачу, нужно рассмотреть силы, действующие на тело, и использовать законы динамики и сохранения энергии.

Теоретическая часть:

Силы, действующие на тело:
- Сила тяжести $ \vec{F}_{\text{тяж}} = m \cdot \vec{g} $.
- Нормальная сила $ \vec{N} $, которая направлена перпендикулярно поверхности полусферы.
Разложение сил:
- Разложим силу тяжести на две компоненты: вдоль касательной к поверхности и перпендикулярно ей.
- Компонента вдоль радиуса (перпендикулярна поверхности): $ mg \cos(\alpha) $.
- Компонента вдоль касательной: $ mg \sin(\alpha) $.
Динамика движения:
- Так как трение отсутствует, движение определяется центростремительным ускорением, равным $ a_c = \frac{v^2}{R} $, где $ v $ — скорость тела.
- Сумма сил в радиальном направлении: $ N = mg \cos(\alpha) - m \frac{v^2}{R} $.
Закон сохранения энергии:
- Полная механическая энергия сохраняется. Потенциальная энергия в начальной точке равна кинетической и потенциальной в точке $ M $.
- $ mgh_0 = mgh + \frac{mv^2}{2} $.
- Начальная высота $ h_0 = R $, а высота в точке $ M $ равна $ h = R \cos(\alpha) $.
Условие отрыва:
- Тело отрывается от поверхности, когда нормальная сила становится равной нулю: $ N = 0 $.
- Это условие позволяет выразить скорость и, следовательно, высоту отрыва.

Эти принципы помогут получить выражения для силы давления и высоты отрыва.