Дано:
m;
R;
α.
Найти:
$F_{д}$ − ?
h − ?
Решение:

Для нахождения высоты h нам требуется определить линейную скорость тела V. Для этого воспользуемся вторым законом Ньютона. В момент отрыва тела от поверхности полусферы на него действует только сила тяжести , а сила реакции опоры становится равной нулю. Допустим это произойдет в момент, когда прямая, соединяющая тело и центр полусферы, составляет с вертикалью угол α. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось y, которая совпадает с упомянутой прямой.
$-mg\ast <!--\; \ast \; -->cos\alpha +N=–m{a}_{ц}$;
$a_{ц}=\frac{v^2}{R}$;
Т.к. N = 0, то
$mg\ast <!--\; \ast \; -->cos\alpha =\frac{m{v}^2}{R}$;
$m{v}^2=Rmgcos\alpha$;
$v^2=\frac{Rmgcos\alpha }{m}=Rgcos\alpha$;
По закону сохранения механической энергии потенциальная энергия тела на вершине полусферы, т.е. на высоте, равной радиусу полусферы R, равна сумме его потенциальной и кинетической энергий в любой другой точке, и значит, и в момент отрыва тела на высоте h:
$E_{п0}=E_{п}+E_{к}$;
$E_{п0}=mgR$;
$E_{п}=mgRcos\alpha$;
$E_{к}=\frac{m{v}^2}{2}$;
$mgR=mgRcos\alpha +\frac{m{v}^2}{2}$;
$\frac{m{v}^2}{2}=mgR-<!--\; -\; -->mgRcos\alpha =mgR\ast <!--\; \ast \; -->(1-<!--\; -\; -->cos\alpha )$;
$m{v}^2=2mgR\ast <!--\; \ast \; -->(1-<!--\; -\; -->cos\alpha )$;
$v^2=\frac{2mgR\ast <!--\; \ast \; -->(1-<!--\; -\; -->cos\alpha )}{m}=2gR\ast <!--\; \ast \; -->(1-<!--\; -\; -->cos\alpha )$;
Найдем силу давления тела на поверхность полусферы в положении М:
$F_{д}=N=mg\ast <!--\; \ast \; -->cos\alpha –m{a}_{ц}=mg\ast <!--\; \ast \; -->cos\alpha –m\ast <!--\; \ast \; -->\frac{v^2}{R}=mg\ast <!--\; \ast \; -->cos\alpha –\frac{m}{R}\ast <!--\; \ast \; -->2gR\ast <!--\; \ast \; -->(1-<!--\; -\; -->cos\alpha )=mg\ast <!--\; \ast \; -->(cos\alpha -<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->(1-<!--\; -\; -->cos\alpha ))=mg\ast <!--\; \ast \; -->(cos\alpha -<!--\; -\; -->2+2cos\alpha ))=mg\ast <!--\; \ast \; -->(3cos\alpha -<!--\; -\; -->2)$ ;
Найдем высоту h от вершины, на уровне которой тело оторвётся от поверхности полусферы:
$v^2=Rgcos\alpha =2gR\ast <!--\; \ast \; -->(1-<!--\; -\; -->cos\alpha )$;
Rgcosα = 2gR − 2gRcosα;
3Rgcosα = 2gR;
$cos\alpha =\frac{2gR}{3gR}=\frac{2}{3}$;
$h=R-<!--\; -\; -->Rcos\alpha =R-<!--\; -\; -->\frac{2}{3}R=\frac{1}{3}R$.
Ответ: $mg\ast <!--\; \ast \; -->(3cos\alpha -<!--\; -\; -->2);\frac{1}{3}R$.