Прыгун в воду отталкивается от трамплина и приобретает скорость 5 м/с. Определите скорость входа в воду спортсмена, если высота трамплина равна 5 м.

Для решения задачи необходимо учитывать законы механики, в частности, законы сохранения энергии и кинематику движения тел под действием силы тяжести. Давайте подробно разберём теоретическую часть.

1. Закон сохранения энергии В данной задаче мы будем использовать закон сохранения механической энергии. Это принцип говорит о том, что в отсутствие потерь, связанных с трением или другими силами сопротивления, полная механическая энергия тела остаётся постоянной. Механическая энергия включает в себя кинетическую и потенциальную энергии.

Формула полной механической энергии:
$$ E_{\text{м}} = E_{\text{к}} + E_{\text{п}}, $$
где:
− $ E_{\text{к}} $ — кинетическая энергия тела ($ \frac{mv^2}{2} $),
− $ E_{\text{п}} $ — потенциальная энергия тела ($ mgh $),
− $ m $ — масса тела,
− $ v $ — скорость,
− $ g $ — ускорение свободного падения ($ g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 $),
− $ h $ — высота над уровнем отсчёта.

В задаче рассматривается движение спортсмена, который прыгает с высоты $ h = 5 \, \text{м} $, имея начальную скорость $ v_0 = 5 \, \text{м/с} $. Его начальная энергия включает как кинетическую, так и потенциальную составляющую. В конечный момент, на уровне воды, вся энергия преобразуется в кинетическую.

1. Потенциальная энергия
   При прыжке с высоты спортсмен обладает потенциальной энергией, связанной с его положением относительно уровня воды. Потенциальная энергия рассчитывается по формуле:
   $$ E_{\text{п}} = mgh, $$
   где $ h $ — высота, с которой он прыгает.

2. Кинетическая энергия
   Кинетическая энергия определяется движением тела и рассчитывается по формуле:
   $$ E_{\text{к}} = \frac{mv^2}{2}, $$
   где $ v $ — скорость движения.

3. Скорость при входе в воду
   Во время падения спортсмен приобретает дополнительную скорость за счёт преобразования потенциальной энергии в кинетическую. При этом его скорость при входе в воду определяется как результат сохранения полной механической энергии.

Для расчёта скорости при входе в воду нам нужно выразить закон сохранения энергии:
$$ E_{\text{м нач}} = E_{\text{м конеч}}. $$

На высоте $ h $ (начальное положение) спортсмен обладает:
$$ E_{\text{м нач}} = E_{\text{к нач}} + E_{\text{п нач}}, $$
где:
− $ E_{\text{к нач}} = \frac{mv_0^2}{2}, $
− $ E_{\text{п нач}} = mgh. $

При входе в воду (конечное положение):
$$ E_{\text{м конеч}} = E_{\text{к конеч}}, $$
где:
− $ E_{\text{к конеч}} = \frac{mv^2}{2}, \] а потенциальная энергия \( E_{\text{п конеч}} $ равна нулю, так как высота над уровнем воды становится $ h = 0 $.

Следовательно:
$$ \frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2}, $$
где $ v $ — скорость при входе в воду.

1. Исключение массы
   Масса $ m $ спортсмена сокращается из уравнения, так как она присутствует во всех членах. В итоге:
   $$ \frac{v_0^2}{2} + gh = \frac{v^2}{2}. $$

2. Формула для расчёта скорости
   Чтобы найти скорость $ v $ при входе в воду, преобразуем уравнение:
   $$ v^2 = v_0^2 + 2gh, $$
   или:
   $$ v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}. $$

Это основная формула, которая позволит рассчитать скорость спортсмена при входе в воду.

1. Кинематический подход Ещё один способ решения задачи — использование кинематических уравнений движения с ускорением $ g $. В этом случае можно считать начальную скорость $ v_0 = 5 \, \text{м/с} $, высоту $ h = 5 \, \text{м} $, и найти скорость $ v $, используя кинематическое уравнение движения: $$ v^2 = v_0^2 + 2gh. $$

Этот метод идентичен приведённому выше в рамках закона сохранения энергии.