Масса ребёнка вместе с санками 20 кг. Коэффициент трения санок о снег 0,1.
а) Какую работу должна совершить сила, направленная вдоль наклонной плоскости, чтобы втащить санки на горку длиной 100 м и углом наклона 30°?
б) Чему будет равна скорость санок у основания наклонной плоскости, если дать им свободно скатываться вниз?
Дано:
m = 20 кг;
μ = 0,1;
l = 100 m;
α = 30°;
g ≈ 10 Н/кг.
Найти:
A − ?
Решение:
Изобразим все силы, действующие на тело: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила реакции опоры $\overset{→}{N}$, сила трения $\overset{→}{F_{тр}}$, сила тяги $\overset{→}{F}$.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$0 = \overset{→}{mg} + \overset{→}{N} + \overset{→}{F_{тр}} + \overset{→}{F}$;
Выберем Ось X параллельно и ось Y перпендикулярно наклонной плоскости. Спроецируем уравнение на координатные оси:
ось Y: 0 = N − mgcosα;
ось X:$ 0 = F - mgsinα - F_{тр} = F - mgsinα - μN= F - mgsinα - μ * mgcosα = F - mg * (sinα + μcosα)$;
F = mg * (sinα + μcosα);
Найдем работу силы тяги:
A = Fl = mgl * (sinα + μcosα);
A = 20 * 10 * 100 * (sin30 + 0,1 * cos30) = 20 000 * (0,5 + 0,087) = 11740 Дж ≈ 11,7 кДж;
Ответ: 11,7 кДж.
Дано:
m = 20 кг;
μ = 0,1;
l = 100 m;
α = 30°;
g ≈ 10 Н/кг.
Найти:
v − ?
Решение:
Сила трения равна:
$F_{тр} = μN = μmgcosα$;
Работа силы трения равна:
$A = F_{тр}l = μmglcosα$;
На вершине тело имеет потенциальную энергию:
$E_{п} = mgh$;
По закону сохранения энергии, соскальзывая тело расходует потенциальную энергию и приобретает кинетическую:
$E_{п} = E_{к} + A$;
$E_{к} = E_{п} - A$ = mgh − μmglcosα = mg * (h − μlcosα );
$\frac{mv^{2}}{2} = mg * (h - μlcosα )$;
$mv^{2} = 2mg * (h - μlcosα )$;
$v^{2} = \frac{2mg * (h - μlcosα)}{m} = 2g * (h - μlcosα) $;
$v = \sqrt{2g * (h - μlcosα)}$;
Т.к. h = lsinα, то:
$v = \sqrt{2g * (lsinα - μlcosα)} = \sqrt{2gl * (sinα - μcosα)}$;
$v = \sqrt{2 * 10 * 100 * (sin30 - 0,1 * cos30) = 2 000 * (0,5 - 0,087)} = 28,7$ м/с.
Ответ: 28,7 м/с.
Для решения этой задачи нужно рассмотреть физические законы, которые лежат в её основе, и подробно разобрать каждую составляющую.
Санки движутся по наклонной плоскости, и на них действует сила трения. Сила трения вычисляется по формуле:
$$ F_{\text{тр}} = \mu \cdot N, $$
где:
− $ \mu $ — коэффициент трения (в данном случае 0,1);
− $ N $ — сила нормального давления (сила, перпендикулярная поверхности наклонной плоскости).
На наклонной плоскости сила нормального давления зависит от компоненты силы тяжести, перпендикулярной плоскости:
$$ N = m \cdot g \cdot \cos \alpha, $$
где:
− $ m $ — масса системы (ребёнок + санки), 20 кг;
− $ g $ — ускорение свободного падения (обычно принимается равным 9,8 м/с²);
− $ \alpha $ — угол наклона плоскости (30°).
В итоге сила трения можно записать как:
$$ F_{\text{тр}} = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha. $$
Работа — это количество энергии, которое передаётся телу или затрачивается для выполнения движения. Формула для работы:
$$ A = F \cdot s \cdot \cos \phi, $$
где:
− $ F $ — сила, которая совершает работу;
− $ s $ — путь, пройденный телом (в данном случае 100 м);
− $ \phi $ — угол между направлением силы и направлением движения тела.
В данном случае сила направлена вдоль наклонной плоскости, поэтому $ \phi = 0° $, а $ \cos \phi = 1 $.
Для того чтобы втащить санки на горку, нужно преодолеть две силы:
1. Силу трения $ F_{\text{тр}} $;
2. Компоненту силы тяжести, направленную вдоль наклонной плоскости:
$$ F_{\text{тяж}} = m \cdot g \cdot \sin \alpha. $$
Общая сила, которую нужно приложить:
$$ F_{\text{общ}} = F_{\text{тяж}} + F_{\text{тр}}. $$
Теперь работа для подъёма санок на горку:
$$ A = F_{\text{общ}} \cdot s, $$
где $ s = 100 $ м.
Когда санки скатываются вниз по наклонной плоскости, на них действуют две силы:
1. Сила тяжести, которая определяет ускорение тела вниз по плоскости. Компонента силы тяжести вдоль плоскости:
$$ F_{\text{тяж, вдоль}} = m \cdot g \cdot \sin \alpha. $$
$$ F_{\text{тр}} = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha. $$
Суммарная сила, вызывающая ускорение санок вниз по наклонной плоскости:
$$ F_{\text{сумм}} = F_{\text{тяж, вдоль}} - F_{\text{тр}}. $$
Эта сила создаёт ускорение $ a $, которое можно найти из второго закона Ньютона:
$$ F_{\text{сумм}} = m \cdot a, $$
откуда:
$$ a = \frac{F_{\text{сумм}}}{m}. $$
Ускорение рассчитывается как:
$$ a = g \cdot (\sin \alpha - \mu \cdot \cos \alpha). $$
После нахождения ускорения можно определить скорость санок у основания наклонной плоскости. Для этого используется уравнение кинематики при равноускоренном движении:
$$ v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot s, $$
где:
− $ v_0 $ — начальная скорость (в данном случае $ v_0 = 0 $, так как санки начинают движение из состояния покоя);
− $ a $ — ускорение;
− $ s $ — длина наклонной плоскости (100 м).
В итоге скорость определяется как:
$$ v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s}. $$
Для решения задачи вам потребуется:
1. Рассчитать силу трения, силу тяжести вдоль плоскости и общую силу для выполнения работы в пункте (а);
2. Найти ускорение и скорость в пункте (б) с использованием уравнений движения.
Пожауйста, оцените решение
