Поезд метро, двигаясь со скоростью 72 км/ч, в точке А отключает двигатель и подходит к точке В со скоростью 54 км/ч. Определите длину участка АВ, если коэффициент сопротивления движению равен 0,01.
Дано:
$v_{1} = 72$ км/ч;
$v_{2} = 54$ км/ч;
μ = 0,01;
$g ≈ 10 м/с^{2}$.
Найти:
s − ?
СИ:
$v_{1} = 20$ м/с;
$v_{2} = 15$ м/с.
Решение:
Изобразим все силы, действующие на поезд: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила реакции опоры $\overset{→}{N}$, сила трения $\overset{→}{F_{тр}}$, направленную противоположно скорости движения.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$\overset{→}{mа} = \overset{→}{mg} + \overset{→}{N} + \overset{→}{F_{тр}}$;
Выберем Ось X параллельно и ось Y перпендикулярно горизонтальной плоскости. Спроецируем уравнение на координатные оси:
ось X:$ ma = - F_{тр}$;
ось Y: 0 = N − mg;
N = mg;
$ma = - F_{тр} = -μN = -μmg$;
$a = \frac{-μmg}{m} = -μg$;
Найдем расстояние, которое проехал поезд:
$S = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{2a} = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{-2μg}$;
$S = \frac{15^{2} - 20^{2}}{-2 * 0,01 * 10} = 875$ м.
Ответ: 875 м.
Для решения задачи потребуется применить законы физики, связанные с движением, энергией, и силой сопротивления. Рассмотрим теорию, которая понадобится для решения:
Когда поезд движется, его кинетическая энергия уменьшается из−за работы внешних сил, таких как сила сопротивления движению.
Эта сила действует против направления движения и начинает замедлять поезд после отключения двигателя.
Работа силы сопротивления
Работу силы сопротивления можно рассчитать по формуле:
$$
A = F_{\text{сопр}} \cdot s
$$
где $ A $ — работа силы сопротивления, $ F_{\text{сопр}} $ — сама сила сопротивления, $ s $ — длина участка, на котором действует сила (в данном случае $ s $ — это длина участка между точками A и B).
Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии гласит, что механическая энергия системы сохраняется, если нет потерь на трение или сопротивление. Однако здесь энергия уменьшается из−за работы силы сопротивления, то есть:
$$
E_{k_{\text{нач}}} - E_{k_{\text{кон}}} = A
$$
где $ E_{k_{\text{нач}}} $ — начальная кинетическая энергия (при скорости 72 км/ч), $ E_{k_{\text{кон}}} $ — конечная кинетическая энергия (при скорости 54 км/ч), $ A $ — работа силы сопротивления за весь путь.
Подставляя формулы для кинетической энергии и работы, можно выразить длину участка $ s $:
$$
\frac{1}{2} m v_{\text{нач}}^2 - \frac{1}{2} m v_{\text{кон}}^2 = k \cdot m \cdot g \cdot s
$$
где $ v_{\text{нач}} $ — начальная скорость, $ v_{\text{кон}} $ — конечная скорость.
Единицы измерения
Все величины в физических расчетах должны быть выражены в единицах СИ. Для скорости нужно перевести значения из км/ч в м/с:
$$
v \, (\text{м/с}) = v \, (\text{км/ч}) \cdot \frac{1000}{3600} = v \, (\text{км/ч}) \cdot \frac{5}{18}
$$
Таким образом, скорости 72 км/ч и 54 км/ч будут выражены в м/с.
Упрощение уравнения
Масса $ m $ поезда является общей для всех членов уравнения, поэтому она сокращается:
$$
\frac{1}{2} v_{\text{нач}}^2 - \frac{1}{2} v_{\text{кон}}^2 = k \cdot g \cdot s
$$
Окончательная формула для расчета длины участка:
$$
s = \frac{\frac{1}{2} v_{\text{нач}}^2 - \frac{1}{2} v_{\text{кон}}^2}{k \cdot g}
$$
Подставив численные значения, можно найти длину участка $ s $.
Пожауйста, оцените решение
