Пружина детского пистолета, жёсткость которой 102 Н/м, имеет длину 15 см. На какую высоту поднимется шарик массой 10 г, выпущенный из пистолета вертикально вверх, если пружина пистолета была сжата до 5 см? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано:
k = 102 Н/м;
$l_{1} = 15$ см;
$l_{2} = 5$ см;
m = 10 г;
g ≈ 10 Н/кг.
Найти:
h − ?
СИ:
$l_{1} = 0,15$ м;
$l_{2} = 0,05$ м;
m = 0,01 кг.
Решение:
Найдем потенциальную энергию сжатой пружины:
$E_{п}= \frac{kx^{2}}{2} = \frac{k * (l_{1} - l_{2})^{2}}{2}$;
$E_{п}= \frac{102 * (0,15 - 0,5)^{2}}{2} = 0,51$ Дж;
По закону сохранения энергии потенциальная энергия при выстреле сначала перейдет в кинетическую энергию шарика, а потом в потенциальную энергию шарика, то есть:
$E_{п} = mgh$;
$h = \frac{E_{п}}{mg}$;
$h = \frac{0,51}{0,01 * 10} = 5,1$ м.
Ответ: 5,1 м.
Для решения задачи необходимо использовать закон сохранения энергии, который является фундаментальным принципом физики. Этот закон гласит, что энергия в замкнутой системе сохраняется, то есть может переходить из одной формы в другую, но её полное количество остаётся неизменным. В данном случае рассматриваются механические виды энергии: потенциальная энергия деформированной пружины и потенциальная энергия тела в поле тяжести.
$ x $ — величина деформации пружины (удлинение или сжатие) относительно её естественной длины, выражается в метрах.
Превращение энергии
При выстреле из пистолета вся потенциальная энергия, накопленная в сжатой пружине, передаётся шарику, преобразуясь в его кинетическую энергию. Кинетическая энергия определяется формулой:
$$ E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2}, $$
где:
$ m $ — масса тела (в данном случае шарика), измеряется в килограммах,
$ v $ — скорость тела, измеряется в м/с.
Эту скорость шарик приобретает за счёт преобразования энергии пружины.
$ h $ — высота подъёма тела, измеряется в метрах.
Уравнение энергии
Согласно закону сохранения энергии, энергия сжатой пружины полностью преобразуется в потенциальную энергию тела в поле тяжести на максимальной высоте, так как сопротивление воздуха в данной задаче пренебрегается. То есть:
$$ E_{\text{упр}} = E_{\text{пот}}. $$
Подставим выражения для энергии:
$$ \frac{kx^2}{2} = mgh. $$
Величина деформации $ x $
В задаче указана длина пружины в её естественном состоянии (15 см) и длина в сжатом состоянии (5 см). Величина деформации $ x $ равна разности между этими значениями, выраженной в метрах:
$$ x = (15 \, \text{см} - 5 \, \text{см}) = 10 \, \text{см} = 0.10 \, \text{м}. $$
Перевод массы в килограммы
Масса шарика дана в граммах ($ 10 \, \text{г} $), но в расчётах используется единица килограмм. Для перевода нужно разделить на 1000:
$$ m = \frac{10}{1000} = 0.01 \, \text{кг}. $$
Нахождение высоты подъёма $ h $
Искомую высоту подъёма можно найти, решив уравнение энергии относительно $ h $:
$$ h = \frac{kx^2}{2mg}. $$
Таким образом, для решения задачи необходимо подставить известные значения в эту формулу и выполнить расчёты, чтобы найти высоту подъёма шарика.
Пожауйста, оцените решение
