С горы высотой 50 м падает камень. На какой высоте кинетическая энергия камня станет равной его потенциальной энергии?
Дано:
$h_{1} = 50$ м;
$E_{п2} = E_{к2}$.
Найти:
$h_{2}$ − ?
Решение:
Согласно закону сохранения механической энергии:
$E_{п1} + E_{к1} = E_{п2} + E_{к2}$;
В начальной точке кинетическая энергия равна нулю, тогда:
$E_{п1} = E_{п2} + E_{к2} = E_{п2} + E_{п2} = 2E_{п2} = 2mgh_{2}$;
$mgh_{1} = 2 mgh_{2}$;
$h_{1} = 2h_{2}$;
$h_{2} = \frac{h_{1}}{2}$;
$h_{2} = \frac{50}{2} = 25$ м;
Ответ: 25 м.
Для решения задачи о высоте, на которой кинетическая энергия камня станет равной его потенциальной энергии, мы должны использовать законы сохранения механической энергии. Давайте разберемся с теоретической основой.
Механическая энергия
Механическая энергия тела складывается из двух видов энергии: потенциальной энергии ($E_p$) и кинетической энергии ($E_k$):
$$
E = E_p + E_k.
$$
В изолированной системе, если силы трения и сопротивления воздуха отсутствуют, механическая энергия сохраняется. Это означает, что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной в течение всего движения.
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия определяется как энергия, которая зависит от положения тела в гравитационном поле. Формула для вычисления потенциальной энергии:
$$
E_p = mgh,
$$
где:
$m$ — масса тела (в кг),
$g$ — ускорение свободного падения ($g \approx 9{,}8 \, \text{м/с}^2$),
$h$ — высота тела над выбранным уровнем отсчета (в метрах).
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия связана с движением тела и определяется формулой:
$$
E_k = \frac{1}{2}mv^2,
$$
где:
$m$ — масса тела (в кг),
$v$ — скорость тела (в м/с).
Закон сохранения механической энергии
Когда камень падает, под действием силы тяжести его потенциальная энергия превращается в кинетическую, но их сумма (механическая энергия) остается неизменной. Если начальная высота камня $h_0 = 50 \, \text{м}$, то начальная потенциальная энергия камня равна:
$$
E_{p_0} = mgh_0.
$$
На момент начала падения у камня нет движения, поэтому его начальная кинетическая энергия равна нулю:
$$
E_{k_0} = 0.
$$
Таким образом, вся механическая энергия изначально сосредоточена в потенциальной энергии:
$$
E = E_{p_0} = mgh_0.
$$
Равенство кинетической и потенциальной энергии
Нам нужно найти такую высоту $h$, на которой кинетическая энергия ($E_k$) станет равной потенциальной энергии ($E_p$):
$$
E_k = E_p.
$$
Подставим выражения для $E_k$ и $E_p$:
$$
\frac{1}{2}mv^2 = mgh.
$$
Сохранение механической энергии для системы
С учетом закона сохранения энергии, в любой момент времени сумма $E_k$ и $E_p$ равна изначальной полной энергии:
$$
E_k + E_p = mgh_0.
$$
Если $E_k = E_p$, то каждая из них равна половине начальной механической энергии:
$$
E_p = E_k = \frac{1}{2}mgh_0.
$$
Высота, на которой энергии равны
Подставляем формулу для потенциальной энергии $E_p = mgh$:
$$
mgh = \frac{1}{2}mgh_0.
$$
Сокращаем массу $m$ (так как она одинакова в обеих частях уравнения):
$$
gh = \frac{1}{2}gh_0.
$$
Ускорение свободного падения ($g$) также сокращается:
$$
h = \frac{1}{2}h_0.
$$
Итоговое выражение
Высота $h$, на которой кинетическая энергия станет равной потенциальной, равна половине начальной высоты:
$$
h = \frac{h_0}{2}.
$$
Здесь $h_0 = 50 \, \text{м}$, и вы можете подставить значение для получения результата.
Пожауйста, оцените решение
