Шар массой 5 кг падает с высоты 2 м и сжимает пружину жёсткостью 500 Н/м (рис. 272). Масса пружины пренебрежимо мала по сравнению с массой шара. Чему равно максимальное сжатие пружины?
рис. 272
Дано:
m = 5 кг;
h = 2 м;
k = 500 Н/м;
g = 10 Н/кг.
Найти:
x − ?
Решение:
Система пружина − шар является замкнутой, для неё выполняется закон сохранения полной механической энергии.
$E_{п1} + E_{к1} = E_{п2} + E_{к2}$;
Кинетическая энергия шара в начальной и конечной точке равна нулю. Потенциальная энергия шарика до падения:
$E_{п1} = mg * (h+x)$;
Потенциальная энергия упруго деформированной пружины:
$E_{п2} = \frac{k(x)^{2}}{2}$;
$E_{п1} = E_{п2}$;
$mg * (h+x) = \frac{kx^{2}}{2}$;
$\frac{kx^{2}}{2} - mgh - mgx = 0$;
$x^{2} - \frac{2mg}{k}x - \frac{2mgh}{k} = 0$;
$x^{2} - \frac{2 * 5 * 10}{500}x - \frac{2 * 5 * 10 * 2}{500} = 0$;
$x^{2} - 0,2x - 0,4 = 0$;
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = b^{2} - 4ac = (-0,2)^2 - 4 * 1 * ( - 0,4) = 0,04 + 1,6 = 1,64$;
Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
$x_{1} = \frac{0,2 - \sqrt{1,64}}{2 * 1} = -0,54$ − не имеет смысла;
$x_{2} = \frac{0,2 + \sqrt{1,64}}{2 * 1} = 0,74$.
Ответ: 0,74 м.
Для решения этой задачи следует использовать закон сохранения энергии. В этой системе действует потенциальная энергия шара и потенциальная энергия сжатой пружины.
Потенциальная энергия (PE) шара на высоте $ h $ равна:
$$
PE = mgh
$$
где:
− $ m = 5 \, \text{кг} $ — масса шара,
− $ g = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 $ — ускорение свободного падения,
− $ h = 2 \, \text{м} $ — высота, с которой падает шар.
Потенциальная энергия сжатой пружины выражается формулой:
$$
PE_{\text{пружины}} = \frac{1}{2}kx^2
$$
где:
− $ k = 500 \, \text{Н/м} $ — жёсткость пружины,
− $ x $ — величина сжатия пружины.
По закону сохранения механической энергии, вся потенциальная энергия, которой обладает шар на высоте, преобразуется в потенциальную энергию сжатой пружины в момент максимального сжатия. Таким образом:
$$
mgh = \frac{1}{2}kx^2
$$
Подставив значения, получаем уравнение для определения $ x $:
$$
5 \times 9{,}8 \times 2 = \frac{1}{2} \times 500 \times x^2
$$
Это уравнение можно решить относительно $ x $, чтобы найти максимальное сжатие пружины.
Пожауйста, оцените решение
