Ракета взлетает вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Определите массу ракеты, если скорость истечения газов равна 217 м/с, считая, что сгорание заряда происходит мгновенно. Масса заряда 50 г.
Дано:
$v_{2}= 217$ м/с;
h = 150 м;
$m_{2} = 50$ г;
g = 10 Н/кг.
Найти:
$m_{1}$ − ?
СИ:
$m_{2} = 0,05$ г;
Решение:
Согласно закону сохранения импульса:
$m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1}v_{1}^{'} + m_{2}v_{2}^{'}$;
Так как в начальной точке, скорость ракеты и топлива была равна нулю, тогда в проекции на ось X, уравнение примет вид:
$0 = m_{1}v_{1}^{'} - m_{2}v_{2}^{'}$;
$m_{1}v_{1}^{'} = m_{2}v_{2}^{'}$;
$m_{1} = \frac{m_{2}v_{2}^{'}}{v_{1}^{'}}$;
Согласно закону сохранения механической энергии:
$E_{п1} + E_{к1} = E_{п2} + E_{к2}$;
Т.к. в нижней точке потенциальная энергия, а в верхней точке − кинетическая энергия ракеты, равны нулю, уравнение примет вид:
$E_{к1} = E_{п2}$;
$\frac{mv_{1}^{1}}{2} = m_{1}gh$;
$m_{1}v_{1}^{2} = 2m_{1}gh$;
$v_{1}^{2} = \frac{2m_{1}gh}{m_{1}} = 2gh$;
$v_{1} = \sqrt{2gh}$;
$m_{1} = \frac{m_{2}v_{2}^{'}}{\sqrt{2gh}}$;
$m_{1} = \frac{0,05 * 217}{\sqrt{2 * 10 * 150}} = 0,2$ кг = 200 г.
Ответ: 200 г.
Для решения задачи нужно использовать закон сохранения импульса, который гласит, что сумма импульсов системы до и после взаимодействия остается неизменной, если внешние силы отсутствуют или их действие можно пренебречь.
Импульс тела определяется как произведение массы тела на его скорость: $ p = mv $, где $ p $ — импульс, $ m $ — масса тела, $ v $ — его скорость.
В данном случае ракета и газы, которые выбрасываются из нее, составляют замкнутую систему. До начала движения ракеты она покоится, а газы в ней неподвижны, следовательно, начальный импульс системы равен нулю. После того как происходит выброс газов, ракета приобретает скорость, а газы начинают двигаться с определенной скоростью. В результате взаимодействия импульс системы остается равным нулю, но распределяется между ракетой и газами.
Уравнение закона сохранения импульса для системы "ракета + выбрасываемые газы" можно записать следующим образом:
$$ m_{\text{ракеты}} \cdot v_{\text{ракеты}} + m_{\text{газов}} \cdot v_{\text{газов}} = 0, $$
где:
− $ m_{\text{ракеты}} $ — масса ракеты,
− $ v_{\text{ракеты}} $ — скорость ракеты после выброса газов,
− $ m_{\text{газов}} $ — масса выброшенных газов,
− $ v_{\text{газов}} $ — скорость выброса газов относительно ракеты.
Из этого уравнения можно выразить скорость ракеты после выброса газов:
$$ v_{\text{ракеты}} = -\frac{m_{\text{газов}} \cdot v_{\text{газов}}}{m_{\text{ракеты}}}. $$
Знак "минус" здесь указывает, что ракета и газы движутся в противоположных направлениях.
Однако задача требует определить массу ракеты. Для этого необходимо учесть связь между высотой, на которую поднялась ракета, её начальной скоростью после выброса газов, и действием силы тяжести. Эта связь описывается законом сохранения энергии.
После выброса газов ракета получает начальную кинетическую энергию $ E_{\text{кин}} $, которая определяется формулой:
$$ E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m_{\text{ракеты}} v_{\text{ракеты}}^2, $$
где $ v_{\text{ракеты}} $ — начальная скорость ракеты.
На высоте $ h = 150 \, \text{м} $ ракета полностью останавливается, то есть её кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию $ E_{\text{пот}} $ под действием силы тяжести:
$$ E_{\text{пот}} = m_{\text{ракеты}} g h, $$
где:
− $ g $ — ускорение свободного падения ($ g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 $),
− $ h $ — высота ($ h = 150 \, \text{м} $).
Согласно закону сохранения энергии, начальная кинетическая энергия ракеты равна её потенциальной энергии на максимальной высоте:
$$ \frac{1}{2} m_{\text{ракеты}} v_{\text{ракеты}}^2 = m_{\text{ракеты}} g h. $$
Из этого уравнения можно выразить начальную скорость ракеты:
$$ v_{\text{ракеты}} = \sqrt{2 g h}. $$
Теперь, подставляя выражение для $ v_{\text{ракеты}} $ из закона сохранения импульса, можно найти массу ракеты:
$$ \sqrt{2 g h} = -\frac{m_{\text{газов}} \cdot v_{\text{газов}}}{m_{\text{ракеты}}}. $$
Для удобства решаем уравнение относительно $ m_{\text{ракеты}} $:
$$ m_{\text{ракеты}} = \frac{m_{\text{газов}} \cdot v_{\text{газов}}}{\sqrt{2 g h}}. $$
Это выражение позволяет определить массу ракеты, если известны масса выброшенных газов ($ m_{\text{газов}} = 50 \, \text{г} $), скорость выброса газов ($ v_{\text{газов}} = 217 \, \text{м/с} $), высота, на которую поднялась ракета ($ h = 150 \, \text{м} $), и ускорение свободного падения ($ g = 9.8 \, \text{м/с}^2 $).
Пожауйста, оцените решение
