Тележка начинает двигаться на «американских горках» из точки А с начальной скоростью $v_{0} = 0$ (рис. 271). Чему равна её скорость в обозначенных на рисунке точках? Трением пренебречь.

рис. 271

Для решения этой задачи применим закон сохранения механической энергии. Когда трением можно пренебречь, полная механическая энергия системы сохраняется. Полная механическая энергия состоит из потенциальной и кинетической энергии.

1. Потенциальная энергия (PE):
   $$ PE = mgh $$
   где $ m $ — масса тележки, $ g $ — ускорение свободного падения (приблизительно $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $), $ h $ — высота над выбранным нулевым уровнем.

2. Кинетическая энергия (KE):
   $$ KE = \frac{1}{2}mv^2 $$
   где $ v $ — скорость тележки.

3. Закон сохранения энергии:
   В любой точке движения полная механическая энергия E сохраняется:
   $$ E = PE + KE = \text{const} $$

4. Применение к задаче:

   • В точке $ A $ вся энергия будет потенциальной, так как начальная скорость $ v_0 = 0 $.

• В точках $ B $, $ C $, $ D $ и $ E $ часть энергии будет преобразовываться в кинетическую. Полная механическая энергия в этих точках будет равна начальной потенциальной энергии в точке $ A $.

1. Выражение для скорости: Рассмотрим произвольную точку, где высота $ h $ и скорость $ v $.

• Потенциальная энергия в этой точке: $ PE = mgh $.
• Кинетическая энергия в этой точке: $ KE = \frac{1}{2}mv^2 $.

Из закона сохранения энергии:
$$ mgh_A = mgh + \frac{1}{2}mv^2 $$

Упрощая:
$$ gh_A = gh + \frac{1}{2}v^2 $$

Решая относительно скорости:
$$ v = \sqrt{2g(h_A - h)} $$

Эта формула позволяет рассчитать скорость тележки в любой точке, зная начальную высоту $ h_A $ и высоту в интересующей нас точке $ h $.