На одном конце доски массой М, находящейся на поверхности воды, сидит лягушка (рис. 270). С какой наименьшей скоростью должна прыгнуть лягушка, чтобы попасть в точку В? Расстояние между точками А и В равно l, масса лягушки m. Трение между доской и водой мало.
рис. 270
Дано:
M;
m;
l.
Найти:
v − ?
Решение:
В данной системе отсчета движение вдоль вертикальной оси Оy равноускоренное.
$v_{y} = v_{лy} + g_{y}t$;
Т.к. $v_{лy} = v_{л}sinα$; $g_{y} = -g$; $v_{y} = 0$, то
$0 = v_{л}sinα - gt$;
$v_{л}sinα = gt$;
$t = \frac{v_{л}sinα}{g}$;
Полное время полета лягушки равно:
$t = \frac{2v_{л}sinα}{g}$;
По закону сохранения импульса для системы «лягушка – доска»
$(m + M)v = mv_{л} + Mv_{д}$;
Так как v = 0, то в проекции на ось X уравнение примет вид:
$mv_{л}cosα - Mv_{д} = 0$;
$mv_{л}cosα = Mv_{д}$;
$v_{д} = \frac{mv_{л}cosα}{M}$;
За время полета лягушка должна преодолеть относительно доски расстояние l, равное:
$(v_{л}cosα + v_{д})t = l$;
$(v_{л}cosα + \frac{mv_{л}cosα}{M}) * \frac{2v_{л}sinα}{g} = l$;
$\frac{2v_{л}^{2}sinαcosα}{g} * ( 1+ \frac{m}{M}) = l$;
$v_{л}^{2}= \frac{l}{\frac{2sinαcosα}{g}* ( 1+ \frac{m}{M})} = \frac{l}{\frac{sin2α}{g}* ( 1+ \frac{m}{M})} = \frac{l}{\frac{sin2α}{g} + \frac{msin2α}{Mg}} = \frac{l}{\frac{sin2α *(M + m)}{gM}} = \frac{lgM}{sin2α * (M + m)}$;
$v_{л}= \sqrt{ \frac{lgM}{sin2α * (M + m)}}$;
Из формулы видно, что $v_{л}$ имеет минимальное значение при α = 45°.
Таким образом,
$v_{min}= \sqrt{ \frac{lgM}{M + m}}$.
Ответ: $\sqrt{ \frac{lgM}{M + m}}$.
Для решения данной задачи важно учитывать законы физики, связанные с движением тел, импульс, а также принципы движения центра масс системы. В данном случае система состоит из лягушки и доски. Поскольку трение между доской и водой мало, можно считать, что доска движется без значительных потерь энергии.
Закон сохранения импульса:
Импульс системы сохраняется, если на неё не действуют внешние силы. В нашем случае силы трения между доской и водой малы, поэтому их можно пренебречь. Первоначально система находится в состоянии покоя, то есть её импульс равен нулю. После прыжка лягушки сумма импульсов доски и лягушки должна также быть равна нулю:
$$
m v_{\text{лягушки}} + M v_{\text{доски}} = 0,
$$
где $ v_{\text{лягушки}} $ — скорость лягушки после прыжка, а $ v_{\text{доски}} $ — скорость доски после того, как лягушка покинула её.
Центр масс:
Центр масс системы сохраняет своё положение, если на систему не действуют внешние силы. В начале задачи центр масс системы находится неподвижно, так как система покоится. После прыжка лягушки центр масс системы, состоящей из лягушки и доски, должен оставаться на том же месте. Координата центра масс $ x_{\text{цм}} $ определяется как:
$$
x_{\text{цм}} = \frac{m x_{\text{лягушки}} + M x_{\text{доски}}}{m + M},
$$
где $ x_{\text{лягушки}} $ — положение лягушки, а $ x_{\text{доски}} $ — положение доски. Чтобы определить минимальную скорость прыжка, нужно учесть относительное смещение доски и лягушки.
Относительное движение:
После прыжка лягушка и доска начнут двигаться в противоположных направлениях. При этом расстояние между точками А и В должно быть пройдено лягушкой с учётом её скорости относительно доски. Если лягушка перемещается на расстояние $ l $, доска также будет сдвигаться на определённое расстояние в противоположном направлении. Скорость лягушки относительно воды будет состоять из двух компонентов: её скорости относительно доски и скорости доски относительно воды.
Связь скоростей:
Из закона сохранения импульса следует:
$$
v_{\text{дягушки(отн)}} = -\frac{M}{m} v_{\text{доски}}.
$$
Здесь $ v_{\text{лягушки(отн)}} $ — скорость лягушки относительно доски, а $ v_{\text{доски}} $ — скорость доски относительно воды.
Уравнение движения:
Для выполнения условия задачи лягушка должна прыгнуть с такой скоростью, чтобы за время $ t $ пересечь расстояние $ l $. Учитывается, что доска также перемещается относительно воды. Если обозначить скорость доски как $ v_{\text{доски}} $, то её путь за время $ t $ будет равен $ v_{\text{доски}} t $. Путь лягушки относительно воды будет представлять собой сумму её перемещения относительно доски и доски относительно воды.
Для минимальной скорости прыжка лягушки необходимо найти взаимосвязь между скоростью её прыжка, скоростью доски и расстоянием $ l $, используя закон сохранения импульса и принцип центра масс.
Пожауйста, оцените решение
