Дано:
M;
m;
l.
Найти:
v − ?
Решение:

В данной системе отсчета движение вдоль вертикальной оси Оy равноускоренное.
$v_y=v_{лy}+g_{y}t$;
Т.к. $v_{лy}=v_{л}sin\alpha$; $g_y=-<!--\; -\; -->g$; $v_y=0$, то
$0=v_{л}sin\alpha -<!--\; -\; -->gt$;
$v_{л}sin\alpha =gt$;
$t=\frac{v_{л}sin\alpha }{g}$;
Полное время полета лягушки равно:
$t=\frac{2v_{л}sin\alpha }{g}$;
По закону сохранения импульса для системы «лягушка – доска»
$(m+M)v=m{v}_{л}+M{v}_{д}$;
Так как v = 0, то в проекции на ось X уравнение примет вид:
$m{v}_{л}cos\alpha -<!--\; -\; -->M{v}_{д}=0$;
$m{v}_{л}cos\alpha =M{v}_{д}$;
$v_{д}=\frac{m{v}_{л}cos\alpha }{M}$;
За время полета лягушка должна преодолеть относительно доски расстояние l, равное:
$(v_{л}cos\alpha +v_{д})t=l$;
$(v_{л}cos\alpha +\frac{m{v}_{л}cos\alpha }{M})\ast <!--\; \ast \; -->\frac{2v_{л}sin\alpha }{g}=l$;
$\frac{2v_{л}^{2}sin\alpha cos\alpha }{g}\ast <!--\; \ast \; -->(1+\frac{m}{M})=l$;
$v_{л}^2=\frac{l}{\frac{2sin\alpha cos\alpha }{g}\ast <!--\; \ast \; -->(1+\frac{m}{M})}=\frac{l}{\frac{sin2\alpha }{g}\ast <!--\; \ast \; -->(1+\frac{m}{M})}=\frac{l}{\frac{sin2\alpha }{g}+\frac{msin2\alpha }{Mg}}=\frac{l}{\frac{sin2\alpha \ast <!--\; \ast \; -->(M+m)}{gM}}=\frac{lgM}{sin2\alpha \ast <!--\; \ast \; -->(M+m)}$;
$v_{л}=\sqrt{\frac{lgM}{sin2\alpha \ast <!--\; \ast \; -->(M+m)}}$;
Из формулы видно, что $v_{л}$ имеет минимальное значение при α = 45°.
Таким образом,
$v_{min}=\sqrt{\frac{lgM}{M+m}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{lgM}{M+m}}$.