Дано:
$v_1=v_2=v$;
$S_1=S_2=S$;
$M_1=M_2=M$.
Найти:
$t_1>t_2$ − ?
Решение:
1. Рассмотрим тележку, с которой дворник сбрасывает снег. Так как вдоль горизонтальной оси на систему «тележка−дворник» никакие внешние силы не действуют, то можно записать закон сохранения импульса системы «тележка−дворник» в проекциях на направление движения тележки. Пусть за определённый промежуток времени на тележку массой M выпала первая порция снега массой m:
$M{v}_0=(M+m)v_1^{\prime }$.
Скорость тележки стала:
$v_1^{\prime }=\frac{M{v}_0}{M+m}$;
Затем дворник сбросил этот снег перпендикулярно направлению движения, импульс тележки стал $M{v}_1^{\prime }$ (сбрасывание снега в стороны не меняет скорости тедежки). Следом упала вторая порция снега:
$M{v}_1^{\prime }=(M+m)\ast <!--\; \ast \; -->v_2^{\prime }$.
Скорость тележки стала:
$v_2^{\prime }=\frac{M{v}_1^{\prime }}{M+m}=\frac{M\ast <!--\; \ast \; -->\frac{M{v}_0}{M+m}}{M+m}=\frac{M^2{v}_0}{(M+m{)}^2}=(\frac{M}{(M+m)}{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->v_0$;
Дворник вновь сбросил эту порцию снега. Затем упала третья порция и т. д. Скорость тележки после n−ой порции снега:
$v_{n1-<!--\; -\; -->я}^{\prime }=(\frac{M}{(M+m)}{)}^n\ast <!--\; \ast \; -->v_0$;
2. Теперь рассмотрим тележку 2, на которой дворник спит. Найдём скорость тележки после падения первой порции снега:
$M{v}_0=(M+m)v_1^{\prime }$.
Скорость тележки стала:
$v_1^{\prime }=\frac{M{v}_0}{M+m}$;
Скорость тележки 2 после падения второй порции снега:
$(M+m)\ast <!--\; \ast \; -->v_1^{\prime }=(M+2m)\ast <!--\; \ast \; -->v_2^{\prime }$;
$v_2^{\prime }=\frac{(M+m)\ast <!--\; \ast \; -->v_1^{\prime }}{M+2m}=\frac{M+m}{M+2m}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{M{v}_0}{M+m}=\frac{M{v}_0}{M+2m}$;
Скорость тележки 2 после n−й порции снега:
$v_{n2-<!--\; -\; -->я}^{\prime }=\frac{M{v}_0}{M+nm}$;
3. Сравним выражения. Обозначим $x=\frac{m}{M}$. Тогда
$v_{n1-<!--\; -\; -->я}^{\prime }=\frac{v_0}{(1+x{)}^n}$;
$v_{n2-<!--\; -\; -->я}^{\prime }=\frac{v_0}{1+nx}$;
Т.к. $(1+x{)}^n>1+nx$, то $v_{n1-<!--\; -\; -->я}^{\prime }<v_{n2-<!--\; -\; -->я}^{\prime }$
Таким образом, быстрее будет двигаться тележка со спящим дворником, поэтому тележка 2 быстрее пройдёт заданное расстояние.
Приведенные вычисления показывают, что падающий на тележку снег замедляет ее импульс тем меньше, чем больше ее масса. Поэтому тележка, с которой снег не сбрасывают, движется быстрее.
Ответ: Быстрее пройдет тележка со спящим дворником.