Две одинаковые тележки, на которых стоят два дворника с равными массами, движутся по инерции с одинаковыми скоростями параллельно друг другу. В некоторый момент времени на тележки начинает равномерно падать снег. Дворник, стоящий на одной тележке, всё время сбрасывает снег вбок, а дворник, стоящий на другой тележке, нет. Какая из тележек быстрее пройдет одно и то же расстояние?
Дано:
$v_{1} = v_{2} = v$;
$S_{1} = S_{2} = S$;
$M_{1} = M_{2} = M$.
Найти:
$t_{1} > t_{2}$ − ?
Решение:
1. Рассмотрим тележку, с которой дворник сбрасывает снег. Так как вдоль горизонтальной оси на систему «тележка−дворник» никакие внешние силы не действуют, то можно записать закон сохранения импульса системы «тележка−дворник» в проекциях на направление движения тележки. Пусть за определённый промежуток времени на тележку массой M выпала первая порция снега массой m:
$Mv_{0} = (M + m) v_{1}'$.
Скорость тележки стала:
$ v_{1}' = \frac{Mv_{0}}{M + m}$;
Затем дворник сбросил этот снег перпендикулярно направлению движения, импульс тележки стал $Mv_{1}'$ (сбрасывание снега в стороны не меняет скорости тедежки). Следом упала вторая порция снега:
$Mv_{1}' = (M + m) * v_{2}'$.
Скорость тележки стала:
$ v_{2}' = \frac{Mv_{1}'}{M + m} = \frac{M * \frac{Mv_{0}}{M + m}}{M + m} = \frac{M^{2}v_{0}}{(M + m)^{2}} = (\frac{M}{(M + m)})^{2} * v_{0}$;
Дворник вновь сбросил эту порцию снега. Затем упала третья порция и т. д. Скорость тележки после n−ой порции снега:
$ v_{n1-я}' = (\frac{M}{(M + m)})^{n} * v_{0}$;
2. Теперь рассмотрим тележку 2, на которой дворник спит. Найдём скорость тележки после падения первой порции снега:
$Mv_{0} = (M + m) v_{1}'$.
Скорость тележки стала:
$ v_{1}' = \frac{Mv_{0}}{M + m}$;
Скорость тележки 2 после падения второй порции снега:
$(M+m) *v_{1}' = (M + 2m) * v_{2}'$;
$v_{2}' = \frac{(M+m) *v_{1}' }{M + 2m} = \frac{M+m}{M + 2m} * \frac{Mv_{0}}{M + m} = \frac{Mv_{0}}{M + 2m}$;
Скорость тележки 2 после n−й порции снега:
$v_{n2-я}' = \frac{Mv_{0}}{M + nm}$;
3. Сравним выражения. Обозначим $x = \frac{m}{M}$. Тогда
$ v_{n1-я}' = \frac{v_{0}}{(1 + x)^{n}}$;
$v_{n2-я}' = \frac{v_{0}}{1 + nx}$;
Т.к. $(1 + x)^{n} > 1 + nx$, то $v_{n1-я}' < v_{n2-я}'$
Таким образом, быстрее будет двигаться тележка со спящим дворником, поэтому тележка 2 быстрее пройдёт заданное расстояние.
Приведенные вычисления показывают, что падающий на тележку снег замедляет ее импульс тем меньше, чем больше ее масса. Поэтому тележка, с которой снег не сбрасывают, движется быстрее.
Ответ: Быстрее пройдет тележка со спящим дворником.
Чтобы решить задачу, нужно рассмотреть физические законы, связанные с движением тележек, массой и силой, а также понять, как изменения массы и действия оказывают влияние на скорость тележки.
Инерция и равномерное движение
Изначально обе тележки движутся с одинаковыми скоростями по инерции. Согласно первому закону Ньютона, тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют внешние силы, или если сумма всех внешних сил равна нулю.
Закон сохранения импульса
Импульс системы определяется как произведение массы тела на его скорость. Согласно закону сохранения импульса, если на тележку действует внешняя сила (например, снег падает на нее), то изменяется её масса, что влияет на её скорость, если мы считаем отсутствие внешних горизонтальных сил, кроме сил, связанных с взаимодействием снега с тележкой.
Масса тележки
Когда на тележку падает снег, её масса начинает увеличиваться. Обозначим массу тележки и дворника как $ M $, скорость тележки как $ v $, массу снега, которая падает в единицу времени, как $ m_s $. Если тележка с дворником не сбрасывает снег, её масса будет увеличиваться с течением времени, как $ M + m_s t $, где $ t $ — время.
Силы, действующие на тележки
Для тележки, где снег не сбрасывается, масса $ M $ увеличивается, а скорость $ v $ уменьшается, так как импульс $ p = mv $ системы должен сохраняться. Это можно описать с помощью закона сохранения импульса. Для тележки, где снег сбрасывается, масса остаётся постоянной ($ M $), но при этом сбрасывание снега требует затраты энергии, что может повлиять на скорость.
Воздействие сбрасывания снега на движение
Когда дворник сбрасывает снег вбок, он выполняет работу. В результате часть его энергии расходуется на сбрасывание снега. Однако если сбрасывание снега осуществляется идеально в боковом направлении, это действие не оказывает влияния на горизонтальную скорость тележки.
Сравнение движения двух тележек
1. Тележка без сбрасывания снега: Масса тележки увеличивается, скорость уменьшается согласно закону сохранения импульса.
2. Тележка со сбрасыванием снега: Масса тележки остаётся постоянной, скорость не меняется, если сила, связанная с сбрасыванием снега, не влияет на горизонтальное направление движения.
Таким образом, тележка, на которой снег сбрасывается, сохраняет первоначальную скорость, в то время как тележка, на которой снег не сбрасывается, будет двигаться медленнее из−за увеличения массы.
Пожауйста, оцените решение
