Орудие массой 1000 кг неподвижно укреплено на палубе судна массой $2*10^{6}$ кг, плывущего со скоростью 10 км/ч. Какой будет скорость судна, если из орудия произвести выстрел:
а) по ходу судна;
б) против хода судна?
Масса снаряда 70 кг, начальная скорость в момент выстрела 600 м/с.
Дано:
$m_{1} = 1000$ кг
$m_{2} = 2*10^{6}$ кг;
v = 10 км/ч;
$m_{3} = 70 кг$;
$v_{3}^{'} = 600$ м/c;
Найти:
$v_{12}^{'} $ − ?
СИ:
v = 2,8 м/с.
Решение:
По закону сохранения импульса:
$(m_{1} + m_{2} + m_{3}) * v_{0} = (m_{1} + m_{2}) * v_{12}^{'} + m_{3}v_{3}^{'} $;
В проекции на ось X:
$(m_{1} + m_{2} + m_{3}) * v_{0} = (m_{1} + m_{2}) * v_{12}^{'} + m_{3}v_{3}^{'} $;
$(m_{1} + m_{2}) * v_{12}^{'} = (m_{1} + m_{2} + m_{3}) * v_{0} - m_{3}v_{3}^{'}$;
$ v_{12}^{'} = \frac{(m_{1} + m_{2} + m_{3}) * v_{0} - m_{3}v_{3}^{'}}{m_{1} + m_{2}}$;
$ v_{12}^{'} = \frac{(1000 + 2000000 + 70) * 2,8 - 70 * 600}{1000 + 2000000} = 2,78$ м/с.
Ответ: 2,78 м/с.
Дано:
$m_{1} = 1000$ кг
$m_{2} = 2*10^{6}$ кг;
v = 10 км/ч;
$m_{3} = 70 кг$;
$v_{3}^{'} = 600$ м/c;
Найти:
$v_{12}^{'} $ − ?
СИ:
v = 2,8 м/с.
Решение:
По закону сохранения импульса:
$(m_{1} + m_{2} + m_{3}) * v_{0} = (m_{1} + m_{2}) * v_{12}^{'} + m_{3}v_{3}^{'} $;
В проекции на ось X:
$(m_{1} + m_{2} + m_{3}) * v_{0} = (m_{1} + m_{2}) * v_{12}^{'} - m_{3}v_{3}^{'} $;
$(m_{1} + m_{2}) * v_{12}^{'} = (m_{1} + m_{2} + m_{3}) * v_{0} + m_{3}v_{3}^{'}$;
$ v_{12}^{'} = \frac{(m_{1} + m_{2} + m_{3}) * v_{0} + m_{3}v_{3}^{'}}{m_{1} + m_{2}}$;
$ v_{12}^{'} = \frac{(1000 + 2000000 + 70) * 2,8 + 70 * 600}{1000 + 2000000} = 2,82$ м/с.
Ответ: 2,82 м/с.
Для решения задачи необходимо использовать закон сохранения импульса, который является ключевым принципом механики. Согласно этому закону, если система тел не взаимодействует с внешними силами или их влияние компенсируется, то суммарный импульс системы остается неизменным.
Импульс:
Импульс тела определяется как произведение массы тела на его скорость:
$$
p = mv,
$$
где $p$ — импульс тела, $m$ — масса тела, $v$ — скорость тела.
Закон сохранения импульса:
Для изолированной системы (или системы, где внешние силы компенсируются), суммарный импульс до взаимодействия равен суммарному импульсу после взаимодействия. Это можно записать в виде:
$$
\sum p_{\text{до}} = \sum p_{\text{после}},
$$
где $\sum p_{\text{до}}$ — суммарный импульс системы до взаимодействия, $\sum p_{\text{после}}$ — суммарный импульс системы после взаимодействия.
В данной задачи система состоит из трех объектов: судно, орудие и снаряд. Они находятся в состоянии взаимодействия (выстрел). В момент выстрела возникает реактивное движение, но импульс системы остается неизменным, так как внешние силы (например, трение воды) в условиях задачи не учитываются.
Начальная скорость судна:
Судно до выстрела движется с постоянной скоростью $v_{\text{судно, до}} = 10 \, \text{км/ч}$. Чтобы работать с единицами в системе СИ, скорость необходимо перевести в метры в секунду:
$$
10 \, \text{км/ч} = \frac{10 \times 1000}{3600} = \frac{10000}{3600} = \frac{25}{9} \, \text{м/с}.
$$
Массы объектов:
Масса судна: $M_{\text{судно}} = 2 \times 10^6 \, \text{кг}$,
Масса орудия: $M_{\text{орудие}} = 1000 \, \text{кг}$,
Масса снаряда: $m_{\text{снаряд}} = 70 \, \text{кг}$.
Скорость снаряда:
В момент выстрела скорость снаряда относительно орудия составляет $v_{\text{снаряд}} = 600 \, \text{м/с}$. Однако для расчета импульса снаряда нужно учитывать его скорость относительно Земли. Для этого нужно добавить или вычесть скорость судна к скорости снаряда в зависимости от направления выстрела (по ходу или против хода судна).
Импульсы объектов до выстрела и после выстрела рассматриваются отдельно.
Суммарный импульс после выстрела:
$$
p_{\text{после}} = (M_{\text{судно}} + M_{\text{орудие}}) v_{\text{судно, после}} + m_{\text{снаряд}} v_{\text{снаряд, после}}.
$$
Согласно закону сохранения импульса:
$$
p_{\text{до}} = p_{\text{после}}.
$$
Подставим выражения для импульсов до и после выстрела:
$$
(M_{\text{судно}} + M_{\text{орудие}}) v_{\text{судно, до}} = (M_{\text{судно}} + M_{\text{орудие}}) v_{\text{судно, после}} + m_{\text{снаряд}} v_{\text{снаряд, после}}.
$$
По ходу судна:
Скорость снаряда относительно земли:
$$
v_{\text{снаряд, после}} = v_{\text{sнаряд}} + v_{\text{судно, до}}.
$$
Против хода судна:
Скорость снаряда относительно земли:
$$
v_{\text{снаряд, после}} = v_{\text{sнаряд}} - v_{\text{судно, до}}.
$$
Из уравнения закона сохранения импульса можно выразить скорость судна после выстрела:
$$
v_{\text{судно, после}} = v_{\text{судно, до}} - \frac{m_{\text{снаряд}} v_{\text{снаряд, после}}}{M_{\text{судно}} + M_{\text{орудие}}}.
$$
Здесь знак перед дробью зависит от направления выстрела: если выстрел производится по ходу движения, скорость снаряда увеличивает импульс системы, а если против хода движения — уменьшает.
Для решения задачи нужно:
1. Использовать закон сохранения импульса.
2. Учитывать направление выстрела (по ходу или против хода судна).
3. Подставить соответствующие значения массы и скорости в уравнение.
Пожауйста, оцените решение
