Мальчик массой 50 кг перешёл с кормы стоящей лодки на её нос. В каком направлении и на какое расстояние переместится при этом лодка, если масса её равна 280 кг, а длина составляет 5 м? Сопротивлением воды пренебречь.
Дано:
$m_{1} = 50$ кг
$m_{2} = 280$ кг;
l = 5 м.
Найти:
S − ?
Решение:
По закону сохранения импульса:
$m_{1}v_{0} + m_{2}v_{0} = m_{1}v_{1}^{'} + (m_{1} + m_{2}) * v_{2}^{'}$;
В проекции на ось X:
$0 = m_{1}v_{1}^{'} - (m_{1} + m_{2}) * v_{2}^{'}$;
$v_{1}^{'} = \frac{l}{t}$;
$v_{2}^{'} = \frac{S}{t}$;
$0 = m_{1} * \frac{l}{t} - (m_{1} + m_{2}) * \frac{S}{t}$;
$\frac{m_{1} * l}{t} = \frac{(m_{1} + m_{2})S}{t}$;
$m_{1} * l = (m_{1} + m_{2})S$;
$S = \frac{m_{1} * l }{m_{1} + m_{2}}$;
$S = \frac{50 * 5}{50 + 280} = 0,76$ м.
Ответ: 0,76 м. Лодка будет двигаться в направлении, противоположном движению человека.
Для решения задачи важно понять и использовать закон сохранения импульса и центр масс системы. Рассмотрим следующие аспекты:
Закон сохранения импульса:
В закрытой системе, где внешние силы отсутствуют (или их можно пренебречь), суммарный импульс системы остается неизменным. В нашем случае, лодка и мальчик образуют замкнутую систему, и внешние силы, такие как сопротивление воды, отсутствуют.
Центр масс системы:
Центр масс системы является точкой, где можно считать сосредоточенной всю массу системы для анализа её движения. Положение центра масс в закрытой системе остается неизменным, если не действуют внешние силы.
Для системы "мальчик и лодка" можно определить начальное и конечное положение центра масс.
Так как мы рассматриваем начало отсчета у кормы лодки:
$$
x_{\text{мальчик}} = 0 \quad \text{и} \quad x_{\text{лодка}} = \frac{L}{2}
$$
где $ L $ — длина лодки.
Конечное положение центра масс:
Когда мальчик перемещается на нос лодки (т.е. на расстояние $ L $):
$$
x_{\text{мальчик,final}} = L
$$
Положение центра масс можно снова найти по той же формуле:
$$
x_{\text{cm,final}} = \frac{m_{\text{мальчик}} \cdot x_{\text{мальчик,final}} + m_{\text{лодка}} \cdot x_{\text{лодка,final}}}{m_{\text{мальчик}} + m_{\text{лодка}}}
$$
Сохранение центра масс:
Поскольку внешние силы отсутствуют, начальное положение центра масс должно равняться конечному:
$$
x_{\text{cm,initial}} = x_{\text{cm,final}}
$$
Перемещение лодки:
Пусть лодка переместится на расстояние $ X $ в обратном направлении относительно движения мальчика. Тогда новое положение лодки по осям координат будет:
$$
x_{\text{лодка,final}} = \frac{L}{2} - X
$$
Решение уравнения:
Подставив значения в уравнение сохранения центра масс, можно найти это расстояние $ X $, на которое переместится лодка.
Эти теоретические шаги помогут вам решить задачу, применяя формулы и принципы сохранения импульса и неизменности центра масс в замкнутой системе.
Пожауйста, оцените решение
