Из пушки, не имеющей противооткатного устройства, вылетает снаряд под углом α к горизонту. Скорость снаряда v, масса m, масса пушки М. Определите скорость пушки после выстрела.
Дано:
α;
v;
m;
M.
Найти:
V − ?
Решение:
В момент выстрела сумма внешних сил, действующих на орудие, не равна нулю; поэтому импульс системы тел «орудие + снаряд» не сохраняется. До выстрела он был равен нулю, а после него – векторной сумме $\overset{→}{mv} + \overset{→}{MV}$;
Однако в горизонтальном направлении внешние силы не действуют, поэтому в проекциях на горизонтальную ось закон сохранения импульса выполняется
mvcosα − MV = 0;
mvcosα = MV;
$V = \frac{mvcosα}{M}$.
Ответ: $\frac{mvcosα}{M}$.
Для решения данной задачи необходимо использовать закон сохранения импульса, так как в системе, состоящей из пушки и снаряда, при отсутствии внешних сил (трение, сопротивление воздуха и прочее) импульс сохраняется. Давайте подробно разберем теоретическую часть, которая потребуется для решения.
Импульс — это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Формула импульса:
$$ \vec{p} = m \vec{v} $$
где $ \vec{p} $ — импульс, $ m $ — масса тела, $ \vec{v} $ — его скорость.
Если на замкнутую систему тел не действуют внешние силы, или внешние силы взаимно компенсируются, то полный векторный импульс системы остается неизменным.
$$ \sum \vec{p_{\text{до}}} = \sum \vec{p_{\text{после}}} $$
где $ \sum \vec{p_{\text{до}}} $ — суммарный импульс системы до события (в данном случае до выстрела), а $ \sum \vec{p_{\text{после}}} $ — суммарный импульс системы после события (выстрела).
До выстрела пушка и снаряд находятся в покое. Это значит, что начальный импульс системы равен нулю:
$$ \sum \vec{p_{\text{до}}} = 0 $$
После выстрела снаряд получает импульс, направленный под углом $ \alpha $ к горизонту, а пушка отлетает в противоположную сторону, так как система изначально была в состоянии покоя. В результате закон сохранения импульса для системы "пушка + снаряд" можно записать как:
$$ \vec{p_{\text{пушка}}} + \vec{p_{\text{снаряд}}} = 0 $$
Импульсы — векторные величины. Это значит, что для их анализа удобно разложить их на составляющие по горизонтальной ($ x $) и вертикальной ($ y $) осям.
1. Горизонтальная составляющая импульса:
$$ p_{x, \text{пушка}} + p_{x, \text{снаряд}} = 0 $$
2. Вертикальная составляющая импульса:
$$ p_{y, \text{пушка}} + p_{y, \text{снаряд}} = 0 $$
Поскольку пушка движется только в горизонтальной плоскости (не поднимается и не опускается относительно земли), ее вертикальная составляющая импульса равна нулю:
$$ p_{y, \text{пушка}} = 0 $$
Следовательно, для сохранения импульса в вертикальном направлении:
$$ p_{y, \text{снаряд}} = 0 $$
Таким образом, для анализа достаточно использовать только горизонтальную составляющую закона сохранения импульса.
Запишем импульсы пушки и снаряда:
− Для пушки:
$$ \vec{p_{\text{пушка}}} = M \vec{v_{\text{пушка}}} $$
где $ M $ — масса пушки, а $ \vec{v_{\text{пушка}}} $ — скорость пушки после выстрела.
− Для снаряда:
$$ \vec{p_{\text{снаряд}}} = m \vec{v_{\text{снаряд}}} $$
где $ m $ — масса снаряда, а $ \vec{v_{\text{снаряд}}} $ — скорость снаряда.
Скорость снаряда $ \vec{v_{\text{снаряд}}} $ направлена под углом $ \alpha $ к горизонту, поэтому ее горизонтальная и вертикальная составляющие равны:
− Горизонтальная составляющая:
$$ v_{x, \text{снаряд}} = v \cos \alpha $$
− Вертикальная составляющая:
$$ v_{y, \text{снаряд}} = v \sin \alpha $$
Суммарный импульс по горизонтальной оси $ x $ до выстрела был равен нулю. После выстрела:
$$ M v_{\text{пушка}} + m v_{x, \text{снаряд}} = 0 $$
Подставляем горизонтальную составляющую скорости снаряда:
$$ M v_{\text{пушка}} + m v \cos \alpha = 0 $$
Из этого уравнения выражаем скорость пушки $ v_{\text{пушка}} $:
$$ v_{\text{пушка}} = -\frac{m v \cos \alpha}{M} $$
Знак минус в ответе указывает на то, что пушка движется в направлении, противоположном направлению горизонтальной составляющей скорости снаряда.
Пожауйста, оцените решение
