Наибольшая скорость прохождения поворотов зависит от радиуса поворота R и коэффициента трения скольжения μ. Докажите, что $v^{2} = μRg$.

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Решение

reshalka.com

ГДЗ Физика 7-9 классы сборник вопросов и задач к учебнику Перышкина автор Марон. Движение тела под действием сил разной природы. Номер №1696

Решение

Решение рисунок 1
Изобразим все силы, действующие на спортсмена при повороте: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила реакции опоры $\overset{→}{N}$, сила, которая может обеспечить движение спортсмена по окружности − сила трения $\overset{→}{F_{тр}}$.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$\overset{→}{mа} = \overset{→}{mg} + \overset{→}{F_{тр}} + \overset{→}{N}$;
Спроецируем уравнение на координатные оси:
ось X: $ma = F_{тр} = μN$;
ось Y: 0 = N − mg;
N = mg;
ma = μmg;
$a = μg$;
Т.к. спортсмен движется по закругленной траектории, то центростремительное ускорение:
$a = \frac{v^{2}}{R} = μg$;
$v^{2} = μRg$.

Теория по заданию

Для доказательства данной формулы необходимо воспользоваться законами физики, связанными с круговым движением и трением.

Сила трения как единственная удерживающая сила
Когда тело движется по криволинейной траектории, например, по повороту, оно испытывает центростремительное ускорение, которое направлено к центру кривой. Для того чтобы тело не соскальзывало с траектории, должна существовать сила, удерживающая его на этой кривой. В данном случае это сила трения скольжения. Сила трения является единственной силой, которая обеспечивает центростремительное ускорение.
Центростремительная сила
Центростремительная сила $ F_{\text{ц}} $ связана с ускорением тела при круговом движении. Формула для центростремительного ускорения $ a_{\text{ц}} $ выражается как:
$$ a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{R}, $$
где $ v $ — скорость тела, а $ R $ — радиус поворота.

Центростремительная сила $ F_{\text{ц}} $, действующая на тело массой $ m $, определяется как:
$$ F_{\text{ц}} = m \cdot a_{\text{ц}} = \frac{m v^2}{R}. $$

Сила трения Сила трения скольжения $ F_{\text{тр}} $ определяется следующим образом: $$ F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{н}}, $$ где $ \mu $ — коэффициент трения скольжения, а $ F_{\text{н}} $ — сила нормального давления (сила реакции опоры).

Если тело движется по горизонтальной поверхности, то сила нормального давления равна силе тяжести:
$$ F_{\text{н}} = F_{\text{тяж}} = m g, $$
где $ g $ — ускорение свободного падения.

Таким образом, сила трения скольжения будет:
$$ F_{\text{тр}} = \mu \cdot m g. $$

Условие равновесия сил Для того чтобы тело могло двигаться по круговой траектории, сила трения должна полностью компенсировать центростремительную силу: $$ F_{\text{тр}} = F_{\text{ц}}. $$

Подставим выражения для $ F_{\text{тр}} $ и $ F_{\text{ц}} $ из предыдущих пунктов:
$$ \mu \cdot m g = \frac{m v^2}{R}. $$

Упрощение уравнения Сократим массу $ m $ (она одинакова и в левой, и в правой части уравнения): $$ \mu g = \frac{v^2}{R}. $$

Перемножим обе стороны уравнения на радиус $ R $:
$$ v^2 = \mu R g. $$

Таким образом, мы доказали, что:
$$ v^2 = \mu R g. $$