Мотоциклист внезапно заметил впереди забор, перпендикулярный направлению своего движения. Докажите, что мотоцикл необходимо затормозить, а не повернуть его вдоль забора, так как в первом случае тормозной путь будет в 2 раза меньше радиуса поворота.

Чтобы подойти к решению данной задачи, необходимо тщательно рассмотреть физические законы, связанные с движением по инерции, торможением и движением по окружности. В этой теоретической части мы разберём, как применяются законы Ньютона и механика в данном контексте.

1. Равномерное прямолинейное движение и торможение Когда мотоциклист движется по прямой с некоторой скоростью $v$, то для остановки ему необходимо применить тормозное усилие, противоположное направлению его движения. Согласно второму закону Ньютона, сила торможения $F_{\text{торм}}$ создаёт отрицательное ускорение $a_{\text{торм}}$, которое замедляет мотоцикл: $$ F_{\text{торм}} = ma_{\text{торм}}, $$ где $m$ — масса мотоцикла вместе с мотоциклистом.

Для равномерного торможения мы можем связать ускорение с тормозным путём $S_{\text{торм}}$ через формулу кинематики:
$$ v^2 = 2a_{\text{торм}} S_{\text{торм}}. $$
Отсюда выражаем тормозной путь:
$$ S_{\text{торм}} = \frac{v^2}{2a_{\text{торм}}}. $$
Таким образом, тормозной путь зависит от квадрата скорости $v$ и величины ускорения торможения $a_{\text{торм}}$.

1. Движение по окружности Если мотоциклист пытается обогнуть препятствие, то его движение становится криволинейным. Для движения по окружности радиусом $R$ требуется центростремительная сила $F_{\text{ц}}$, которая направлена к центру окружности: $$ F_{\text{ц}} = \frac{mv^2}{R}. $$ Эта сила обеспечивается за счёт трения между шинами мотоцикла и дорожным покрытием. Максимальная сила трения, которая может быть реализована, равна: $$ F_{\text{тр}} = \mu mg, $$ где $\mu$ — коэффициент трения между шинами и дорогой, $g$ — ускорение свободного падения.

Для движения по окружности без скольжения трение должно полностью компенсировать центростремительную силу:
$$ F_{\text{ц}} \leq F_{\text{тр}}, $$
т.е.
$$ \frac{mv^2}{R} \leq \mu mg. $$
Упрощаем:
$$ R \geq \frac{v^2}{\mu g}. $$
Минимальный радиус поворота $R_{\text{мин}}$ зависит от квадрата скорости $v$, коэффициента трения $\mu$ и ускорения свободного падения $g$. Таким образом, чем выше скорость $v$, тем больше радиус поворота.

1. Сравнение тормозного пути и радиуса поворота Тормозной путь выражается через ускорение торможения $a_{\text{торм}}$: $$ S_{\text{торм}} = \frac{v^2}{2a_{\text{торм}}}. $$ Ускорение торможения связано с силой трения: $$ a_{\text{торм}} = \mu g. $$ Подставляем $a_{\text{торм}}$ в формулу тормозного пути: $$ S_{\text{торм}} = \frac{v^2}{2\mu g}. $$

Минимальный радиус поворота, как было установлено ранее:
$$ R_{\text{мин}} = \frac{v^2}{\mu g}. $$

Сравниваем $S_{\text{торм}}$ и $R_{\text{мин}}$:
$$ S_{\text{торм}} = \frac{1}{2} R_{\text{мин}}. $$

Из этого следует, что тормозной путь вдвое меньше минимального радиуса поворота. Это доказывает, что мотоцикл лучше затормозить, чем пытаться повернуть вдоль забора, так как для поворота потребуется значительно больше места.