Брусок начинает скользить по наклонной плоскости с углом наклона α. Докажите, что ускорение бруска определяется по формуле α = (sinα − μсоsα)g, где μ − коэффициент трения.
Изобразим все силы, действующие на брусок: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила реакции опоры $\overset{→}{N}$, сила трения $\overset{→}{F_{тр}}$, направленную противоположно скорости движения.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$\overset{→}{mа} = \overset{→}{mg} + \overset{→}{N} + \overset{→}{F_{тр}}$;
Выберем Ось X параллельно и ось Y перпендикулярно наклонной плоскости. Спроецируем уравнение на координатные оси:
ось X: $ma = mgsinα - F_{тр}$;
ось Y: 0 = N − mgcosα;
Найдем силу реакции опоры N;
N = mgcosα;
Найдем ускорение бруска:
$ma = mgsinα - F_{тр} = mgsinα - μN = mgsinα - μ * mgcosα = mg * (sinα - μcosα)$;
$a = \frac{mg * (sinα - μcosα)}{m} = g * (sinα - μcosα)$.
Таким образом, ускорение бруска определяется по формуле α = (sinα − μсоsα)g.
Для решения задачи о движении бруска по наклонной плоскости с учетом трения необходимо подробно рассмотреть силы, действующие на него, и применить законы динамики. Рассмотрим теоретическую часть, которая поможет вывести формулу для ускорения бруска.
Расчет сил, действующих на брусок
Сила тяжести:
На брусок действует сила тяжести $ F_{\text{тяж}} = mg $, направленная строго вертикально вниз, где $ m $ — масса бруска, $ g $ — ускорение свободного падения.
Разложение силы тяжести на составляющие:
Сила тяжести $ F_{\text{тяж}} $ разлагается на две компоненты относительно наклонной плоскости:
Компонента силы, направленная вдоль наклонной плоскости:
$$
F_{\text{тяж, вдоль}} = mg \sin \alpha
$$
Она вызывает движение бруска вниз по наклонной плоскости.
Компонента силы, направленная перпендикулярно наклонной плоскости:
$$
F_{\text{тяж, перпендикулярно}} = mg \cos \alpha
$$
Эта сила порождает нормальную реакцию опоры $ N $.
Сила трения:
Сила трения $ F_{\text{тр}} $ действует против направления движения бруска и определяется как:
$$
F_{\text{тр}} = \mu N
$$
где $ \mu $ — коэффициент трения, а $ N $ — нормальная реакция опоры.
Нормальная реакция опоры:
Нормальная реакция $ N $ равна компоненте силы тяжести, направленной перпендикулярно наклонной плоскости:
$$
N = mg \cos \alpha
$$
Подставим это значение в формулу силы трения:
$$
F_{\text{тр}} = \mu mg \cos \alpha
$$
Применение второго закона Ньютона
Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, действующих на брусок вдоль наклонной плоскости, равна произведению массы $ m $ на его ускорение $ a $:
$$
\sum F = ma
$$
Вдоль наклонной плоскости действуют две силы:
− Сила, направленная вниз по наклонной плоскости: $ F_{\text{тяж, вдоль}} = mg \sin \alpha $
− Сила трения, направленная против движения: $ F_{\text{тр}} = \mu mg \cos \alpha $
Сумма сил вдоль наклонной плоскости:
$$
\sum F = F_{\text{тяж, вдоль}} - F_{\text{тр}}
$$
Подставим значения этих сил:
$$
\sum F = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha
$$
Согласно второму закону Ньютона:
$$
ma = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha
$$
Вывод формулы для ускорения
Сократим массу $ m $ в уравнении:
$$
a = g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha
$$
Таким образом, ускорение бруска при его движении по наклонной плоскости с учетом трения определяется формулой:
$$
a = g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha)
$$
Итог
Выведенная формула показывает, что ускорение зависит от угла наклона $ \alpha $, коэффициента трения $ \mu $, и ускорения свободного падения $ g $.
Пожауйста, оцените решение
