Два тела висят на нитях разной длины и описывают горизонтальные окружности. Противоположные концы нитей неподвижны. Докажите, что время обращения обоих тел всегда одинаковое, если конусы, описываемые нитями, имеют одинаковую высоту (задача Гюйгенса).
Дано:
;
;
.
Доказать:
.
Решение:
Пусть l − длина нити, α — угол нити с вертикалью, R — расстояние от тела до оси, h − высота конуса.
Изобразим все силы, действующие на тело: сила тяжести , сила натяжения нити .
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
;
Спроецируем уравнение на координатные оси:
ось X: ;
ось Y: mg = Tcosα;
;
;
Радиус окружности, описываемой телом, равен:
R = lsinα;
Найдем период обращения:
.
;
;
Если , то .
Таким образом, время обращения обоих тел всегда одинаковое, если конусы, описываемые нитями, имеют одинаковую высоту