Два тела висят на нитях разной длины и описывают горизонтальные окружности. Противоположные концы нитей неподвижны. Докажите, что время обращения обоих тел всегда одинаковое, если конусы, описываемые нитями, имеют одинаковую высоту (задача Гюйгенса).
Дано:
$l_{1}$;
$l_{2}$;
$h_{1} = h_{2}$.
Доказать:
$T_{1} = T_{2}$.
Решение:
Пусть l − длина нити, α — угол нити с вертикалью, R — расстояние от тела до оси, h − высота конуса.
Изобразим все силы, действующие на тело: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила натяжения нити $\overset{→}{F_{н}}$.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$\overset{→}{mа} = \overset{→}{mg} + \overset{→}{F_{н}}$;
Спроецируем уравнение на координатные оси:
ось X: $ma = Tsinα = \frac{mv^{2}}{R}$;
ось Y: mg = Tcosα;
$tgα = \frac{\frac{mv^{2}}{R}}{mg} = \frac{v^{2}}{Rg}$
$v^{2} = gRtgα$;
$v = \sqrt{gRtgα}$;
Радиус окружности, описываемой телом, равен:
R = lsinα;
Найдем период обращения:
$T = \frac{2πR}{v} = \frac{2πR}{\sqrt{gRtgα}} = 2π\sqrt{\frac{R}{g}ctgα} = 2π\sqrt{\frac{lsinα}{g}ctgα} = 2π\sqrt{\frac{lcosα}{g}} = 2π\sqrt{\frac{h}{g}}$.
$T_{1} = 2π\sqrt{\frac{h_{1}}{g}}$;
$T_{2} = 2π\sqrt{\frac{h_{2}}{g}}$;
Если $h_{1} = h_{2}$, то $T_{1} = T_{2} = 2π\sqrt{\frac{h}{g}}$.
Таким образом, время обращения обоих тел всегда одинаковое, если конусы, описываемые нитями, имеют одинаковую высоту
Давайте разберем теоретическую часть задачи, чтобы понять, какие физические законы и принципы лежат в её основе.
В задаче рассматриваются два тела, подвешенных на нитях разной длины. Эти тела движутся по горизонтальным окружностям, так что нити образуют конусообразные фигуры. Важное условие задачи — высоты этих конусов одинаковы для обоих тел. Необходимо доказать, что время одного полного обращения (период обращения) тел одинаково.
Для анализа задачи воспользуемся законами механики. В данном случае тело движется по горизонтальной окружности, а значит, его движение подчиняется законам динамики вращательного движения и действия сил.
Силы, действующие на тело
Рассмотрим силы, действующие на тело:
Разложение силы натяжения на компоненты
Чтобы учесть все направления, силу натяжения $ T $ разложим на две составляющие:
Уравнение равновесия по вертикали
Поскольку тело не движется вертикально, сумма сил в вертикальном направлении равна нулю:
$$
T \cos \theta = mg.
$$
Центростремительная сила
Центростремительная сила связана с горизонтальной составляющей натяжения нити:
$$
F_{\text{ц}} = T \sin \theta.
$$
И она равна:
$$
F_{\text{ц}} = \frac{mv^2}{r},
$$
где $ v $ — линейная скорость тела, а $ r $ — радиус окружности, по которой движется тело.
Геометрические свойства конуса
Высота конуса $ h $, длина нити $ l $, и радиус окружности $ r $ связаны через угол отклонения нити от вертикали $ \theta $:
$$
\cos \theta = \frac{h}{l}, \quad \sin \theta = \frac{r}{l}.
$$
Связь скорости и периода обращения
Линейная скорость $ v $ связана с периодом обращения $ T $ следующим соотношением:
$$
v = \frac{2 \pi r}{T}.
$$
Объединение уравнений
Подставляя выражения для силы тяжести, центростремительной силы и разложение на компоненты, можно выразить период через геометрические параметры. Важно заметить, что высота конусов $ h $ одинакова для обоих тел. Это ключевое условие, которое позволяет сделать вывод о равенстве периодов.
Высота $ h $ одинаковая, а она влияет на величину $ \cos \theta $, которая, в свою очередь, определяет радиус $ r $ и центростремительное ускорение. В результате оказывается, что периоды обоих тел оказываются одинаковыми, независимо от длины нитей.
Пожауйста, оцените решение
