Докажите, что легче − удерживать тело на наклонной плоскости или двигать его по ней равномерно вверх.

Для решения задачи о сравнении усилий, необходимых для удержания тела на наклонной плоскости и для его равномерного движения вверх по этой плоскости, требуется глубокое понимание механики, а именно законов Ньютона, сил трения и приложенных сил. Рассмотрим всю теоретическую базу и принципы, которые помогут решить задачу:

1. Силы, действующие на тело на наклонной плоскости
   При анализе движения тела на наклонной плоскости важно учитывать следующие силы:

   • Сила тяжести ($F_\text{тяж}$): Эта сила направлена вертикально вниз и равна $F_\text{тяж} = mg$, где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения.
   • Составляющие силы тяжести: На наклонной плоскости силу тяжести можно разложить на две составляющие:
   • $F_\parallel = mg \sin \alpha$: параллельная плоскости компонента, стремящаяся сдвинуть тело вниз по склону.
   • $F_\perp = mg \cos \alpha$: компонент, перпендикулярный плоскости, который прижимает тело к поверхности.
   • Сила нормальной реакции опоры ($N$): Эта сила действует перпендикулярно к плоскости и равна $N = F_\perp = mg \cos \alpha$.
   • Сила трения ($F_\text{трения}$): Сила трения рассчитывается как $F_\text{трения} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения между телом и поверхностью. Так как $N = mg \cos \alpha$, то $F_\text{трения} = \mu mg \cos \alpha$.

2. Условия равновесия тела на наклонной плоскости
   Когда тело удерживается неподвижно на наклонной плоскости, сумма всех сил вдоль плоскости равна нулю.

   • Параллельная составляющая силы тяжести ($F_\parallel = mg \sin \alpha$) стремится сдвинуть тело вниз.
   • Сила трения ($F_\text{трения}$) и приложенная сила ($F_\text{удерж}$) препятствуют этому движению. Условие равновесия: $$ F_\text{удерж} + F_\text{трения} = F_\parallel $$ Подставляя выражения для всех сил: $$ F_\text{удерж} + \mu mg \cos \alpha = mg \sin \alpha $$ Отсюда можно выразить силу, необходимую для удерживания тела: $$ F_\text{удерж} = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha $$

3. Движение тела равномерно вверх по наклонной плоскости
   Для движения тела равномерно вверх вдоль наклонной плоскости необходимо компенсировать как действие силы тяжести, так и силы трения. При равномерном движении ускорение тела равно нулю ($a = 0$), а значит, сумма сил, действующих вдоль плоскости, также равна нулю.
   Силы, действующие на тело:

   • Приложенная сила ($F_\text{движ}$): Это сила, с которой нужно тянуть тело вверх.
   • Сила трения ($F_\text{трения}$): Она действует против движения и равна $\mu mg \cos \alpha$.
   • Параллельная составляющая силы тяжести ($F_\parallel = mg \sin \alpha$): Она также направлена вниз, препятствуя движению тела. Условие равномерного движения: $$ F_\text{движ} = F_\parallel + F_\text{трения} $$ Подставляя значения: $$ F_\text{движ} = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha $$

4. Сравнение усилий
   Чтобы ответить на вопрос, легче ли удерживать тело на наклонной плоскости или двигать его равномерно вверх, нужно сравнить $F_\text{удерж}$ и $F_\text{движ}$:
   $$ F_\text{удерж} = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha $$
   $$ F_\text{движ} = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha $$
   Очевидно, что $F_\text{движ}$ больше $F_\text{удерж}$ на величину $2\mu mg \cos \alpha$:
   $$ F_\text{движ} - F_\text{удерж} = 2\mu mg \cos \alpha $$

5. Вывод
   Легче удерживать тело на наклонной плоскости, так как для этого требуется меньшая сила, чем для равномерного движения тела вверх. Разница между этими усилиями обусловлена наличием силы трения, которая дополнительно должна быть преодолена при движении тела вверх.