Мальчик вращает в горизонтальной плоскости три связанных верёвкой шара (рис. 266). Расстояние между шарами 1 м, масса каждого шара 0,1 кг. Чему равны силы натяжения всех трёх кусков верёвки, если шар 3 движется со скоростью 6 м/с? Какая из верёвок разорвётся в первую очередь, если вращение ускорить? Силой тяжести шаров пренебречь.
рис. 266
Дано:
$m_{1} = m_{2} = m = 0,1$ кг;
$l_{1} = l_{2} = l_{3} = l = 1$ м;
$v_{3} = 6$ м/с.
Найти:
$T_{1}$ − ?
$T_{2}$ − ?
$T_{3}$ − ?
Решение:
Изобразим силы натяжения нити $\overset{→}{T_{1}}$, $\overset{→}{T_{2}}$, $\overset{→}{T_{3}}$, действующие на шары.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для каждого шара:
$\overset{→}{mа_{1}} = \overset{→}{T_{1}} + \overset{→}{T_{2}}$;
$\overset{→}{mа_{2}} = \overset{→}{T_{2}} + \overset{→}{T_{3}}$;
$\overset{→}{mа_{3}} = \overset{→}{T_{3}}$;
Выберем ось X параллельно горизонтальной плоскости. Рассмотрим уравнения в проекции на горизонтальную ось:
Ось X:
$mа_{1} = T_{1} - T_{2}$;
$mа_{2} = T_{2} - T_{3}$;
$mа_{3} = T_{3}$;
$a_{ц} = \frac{v^{2}}{R}$;
$T_{3} = \frac{mv_{3}^{2}}{R_{3}}$;
$R_{3} =3 * l = 3 * 1 = 3$ м;
$T_{3} = \frac{0,1 *6^{2}}{3} = 1,2$ Н;
Найдем период обращения 3−го шара.
$T_{3} = \frac{2πR_{3}}{v_{3}}$;
$T_{3} = \frac{2 * 3,14 * 3}{6} = 3,14$ с;
Так шары связаны одной веревкой, то период обращения одинаков для всех трех шаров.
$T_{1} = T_{2} = T_{3}$;
Найдем скорость движения 1−го и 2−го шаров:
$R_{2} = 2 * l = 2 * 1 = 2$ м;
$R_{1} = 1 * l = 1 * 1 = 1$ м;
$v_{2} = \frac{2πR_{2}}{T}$;
$v_{2} = \frac{2 * 3,14 * 2}{3,14} = 4$ м/с;
$v_{2} = \frac{2 * 3,14 * 1}{3,14} = 2$ м/с;
Надем силу натяжения 2−го куска верёвки:
$T_{2} = mа_{2} + T_{3} = \frac{mv_{2}^{2}}{R_{2}} + T_{3}$;
$T_{2} = \frac{0,1 * 4^{2}}{2} + 1,2 = 2$ Н;
Надем силу натяжения 1−го куска верёвки:
$T_{1} = mа_{1} + T_{2} = \frac{mv_{1}^{2}}{R_{1}} + T_{2}$;
$T_{1} = \frac{0,1 * 2^{2}}{1} + 2 = 2,4$ Н;
Ответ: 2,4 Н; 2 Н; 1,2 Н. Ели вращение ускорить,разорвётся в первую очередь 1−й кусок веревки, т.к. в нем сила натяжения больше.
Чтобы решить задачу, нужно понять, как действуют центростремительные силы на каждый из шаров и верёвки.
Центростремительная сила:
Центростремительная сила необходима для движения тела по окружности и направлена к центру этой окружности. Она вычисляется по формуле:
$$
F = \frac{mv^2}{r}
$$
где $ m $ — масса тела, $ v $ — скорость, $ r $ — радиус окружности.
Система шаров:
Силы натяжения:
Выбор верёвки, которая разорвётся первой:
Для более точных вычислений необходимо подставить известные значения в формулы и рассчитать центростремительные силы для каждого из промежутков, начиная с шара 3 и заканчивая шаром 1.
Пожауйста, оцените решение
