Два груза массами $m_{1} = 200$ г и $m_{2} = 300$ г связаны нитью и лежат на горизонтальной поверхности стола. С каким ускорением будет двигаться система, если к грузам приложить силы $F_{1} = 1,5$ Н и $F_{2} = 1$ Н (рис. 259)? Коэффициент трения μ = 0,05.
рис. 259
Дано:
$m_{1} = 200$ г;
$m_{2}= 300$ г;
$F_{1} = 1,5$ Н;
$F_{2} = 1$ Н
μ = 0,05;
g ≈ 10 Н/кг.
Найти:
a − ?
СИ:
$m_{1} = 0,2$ кг;
$m_{2}= 0,3$ кг.
Решение:
Изобразим все силы, действующие на грузы: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила реакции опоры $\overset{→}{N}$, сила трения $\overset{→}{F_{тр}}$, сила тяги $\overset{→}{F}$, сила натяжения нити $\overset{→}{T}$.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для каждого груза:
$\overset{→}{m_{1}а} = \overset{→}{m_{1}g} + \overset{→}{N_{1}} + \overset{→}{F_{тр1}} + \overset{→}{F_{1}} + \overset{→}{T}$;
$\overset{→}{m_{2}а} = \overset{→}{m_{2}g} + \overset{→}{N_{2}} + \overset{→}{F_{тр2}} + \overset{→}{F_{2}} + \overset{→}{T} $;
Выберем Ось X параллельно и ось Y перпендикулярно горизонтальной плоскости. Рассмотрим первое и второе уравнение в проекции на вертикалькую ось:
Ось Y:
$0 = N_{1} - m_{1}g$;
$0 = N_{2} - m_{2}g$;
$N_{1} = m_{1}g$;
$N_{2} = m_{2}g$;
Рассмотрим первое и второе уравнение в проекции на горизонтальную ось:
Ось X:
$m_{1}а = F_{1} - F_{тр1} - T$;
$m_{2}а = T - F_{2} - F_{тр2}$;
Сложим полученные уравнения:
$m_{1}а + m_{2}а = F_{1} - F_{2} - F_{тр1} - F_{тр2}$;
$F_{тр1} = μN$;
$a * (m_{1} + m_{2}) = F_{1} - F_{2} - μN_{1} - μN_{2}$;
$a * (m_{1} + m_{2}) = F_{1} - F_{2} - μm_{1}g - μm_{2}g$;
$a * (m_{1} + m_{2}) = F_{1} - F_{2} - μg * (m_{1} + m_{2})$;
$a = \frac{F_{1} - F_{2} - μg * (m_{1} + m_{2})}{(m_{1} + m_{2})} = \frac{F_{1} - F_{2}}{m_{1} + m_{2}} - μg$;
$a = \frac{1,5 - 1}{0,2 + 0,3} - 0,05 * 10 = 0,5 м/с^{2}$.
Ответ: 0,5 $м/с^{2}$.
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться законом движения Ньютона и формулами для расчета сил трения. Ниже приведена подробная теоретическая часть:
Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела $a$ определяется суммой всех действующих на него сил $F_{\text{сум}}$ и его массой $m$:
$$ a = \frac{F_{\text{сум}}}{m}. $$
В данном случае система состоит из двух грузов, связанных нитью, поэтому масса системы будет равна сумме масс каждого груза:
$$ m_{\text{сист}} = m_1 + m_2. $$
На каждый из грузов действуют следующие силы:
1. Сила тяги, приложенная к грузам ($F_1$ и $F_2$).
2. Сила трения, возникающая между грузами и поверхностью стола.
3. Сила реакции опоры и сила тяжести, которые уравновешивают друг друга и не влияют на движение в горизонтальной плоскости.
Сила трения $F_{\text{тр}}$ вычисляется по формуле:
$$ F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{н}}, $$
где:
− $\mu$ — коэффициент трения,
− $F_{\text{н}}$ — сила нормальной реакции опоры, которая равна силе тяжести на груз.
Сила тяжести $F_{\text{тяж}}$ определяется как:
$$ F_{\text{тяж}} = m \cdot g, $$
где:
− $m$ — масса тела,
− $g$ — ускорение свободного падения (приблизительно $9,8 \, \text{м/с}^2$).
Для двух грузов сила трения будет суммарной:
$$ F_{\text{тр (сум)}} = \mu \cdot (F_{\text{тяж 1}} + F_{\text{тяж 2}}). $$
Ускорение системы будет вызвано действием приложенных сил $F_1$ и $F_2$, которые стремятся сдвинуть грузы по горизонтальной поверхности. Однако сила трения будет действовать в противоположном направлении, препятствуя движению. Сумма действующих сил $F_{\text{сум}}$ на систему равна разности между действующими силами и силой трения:
$$ F_{\text{сум}} = F_1 + F_2 - F_{\text{тр (сум)}}. $$
После нахождения $F_{\text{сум}}$, ускорение системы можно определить по формуле второго закона Ньютона:
$$ a = \frac{F_{\text{сум}}}{m_{\text{сист}}}. $$
Перед подстановкой значений в формулы необходимо убедиться, что все величины приведены к единицам СИ:
− Масса грузов: $m_1 = 200 \, \text{г} = 0,2 \, \text{кг}$, $m_2 = 300 \, \text{г} = 0,3 \, \text{кг}$.
− Силы: $F_1 = 1,5 \, \text{Н}$, $F_2 = 1 \, \text{Н}$.
− Ускорение свободного падения: $g = 9,8 \, \text{м/с}^2$.
Таким образом, задача сводится к последовательному вычислению силы трения, суммарной силы и ускорения системы.
Пожауйста, оцените решение
