Длина наклонной плоскости 4 м, угол наклона к горизонту 60°. За какое время соскользнёт с этой плоскости тело, если коэффициент трения равен 0,2?
Дано:
l = 4 м;
α = 60°;
g ≈ 10 Н/кг;
μ = 0,2.
Найти:
t − ?
Решение:
Изобразим все силы, действующие на тело: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила реакции опоры $\overset{→}{N}$, сила трения $\overset{→}{F_{тр}}$, направленную противоположно скорости движения.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$\overset{→}{mа} = \overset{→}{mg} + \overset{→}{N} + \overset{→}{F_{тр}}$;
Выберем Ось X параллельно и ось Y перпендикулярно наклонной плоскости. Спроецируем уравнение на координатные оси:
ось X: $ma = mgsinα - F_{тр}$;
ось Y: 0 = N − mgcosα;
Найдем силу реакции опоры N;
N = mgcosα;
Найдем ускорение тела:
$ma = mgsinα - F_{тр} = mgsinα - μN = mgsinα - μ * mgcosα = mg * (sinα - μcosα)$;
$a = \frac{mg * (sinα - μcosα)}{m} = g * (sinα - μcosα)$;
Уравнение равноускоренного движения:
$l = v_{0}t + \frac {at^{2}}{2}$;
Т.к. тело начинает движение, то $v_{0} = 0$:
$l = \frac {at^{2}}{2}$;
$2l = at^{2}$;
$t^{2} = \frac{2l}{a}$;
$t = \sqrt{\frac{2l}{a}} = \sqrt{\frac{2l}{g * (sinα - μcosα)}}$;
$t = \sqrt{\frac{2 * 4}{10 * (sin60 - 0,2 * cos60)}} = 1$ с.
Ответ: 1 с.
Для решения задачи о движении тела по наклонной плоскости с учетом трения необходимо рассмотреть физические законы и формулы, которые описывают движение. В данном случае мы используем второй закон Ньютона и учитываем силы, действующие на тело.
1. Силы, действующие на тело:
− Сила тяжести ($ F_{\text{тяж}} $) действует на тело вертикально вниз и равна $ F_{\text{тяж}} = mg $, где $ m $ — масса тела, $ g $ — ускорение свободного падения ($ g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2 $).
− Сила трения ($ F_{\text{тр}} $) направлена против движения тела и равна $ F_{\text{тр}} = \mu F_{\text{н}} $, где $ \mu $ — коэффициент трения, $ F_{\text{н}} $ — сила нормального давления.
− Сила нормального давления ($ F_{\text{н}} $) действует перпендикулярно наклонной плоскости и равна $ F_{\text{н}} = mg \cos \alpha $, где $ \alpha $ — угол наклона плоскости к горизонту.
− Сила, ответственная за движение тела ($ F_{\text{движ}} $), равна проекции силы тяжести на плоскость и составляет $ F_{\text{движ}} = mg \sin \alpha $.
2. Уравнение движения:
Сумма всех сил, действующих на тело по направлению движения, определяет ускорение тела. Согласно второму закону Ньютона:
$$
F_{\text{движ}} - F_{\text{тр}} = ma,
$$
где $ a $ — ускорение тела.
Подставив выражения для $ F_{\text{движ}} $ и $ F_{\text{тр}} $, получим:
$$
mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma.
$$
Сократив на массу $ m $, которая присутствует во всех членах уравнения (если масса тела не равна нулю), можно выразить ускорение $ a $:
$$
a = g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha).
$$
3. Время движения:
Для вычисления времени спуска тела по наклонной плоскости необходимо рассмотреть кинематику равномерно ускоренного движения. Тело начинает движение с начальной скоростью $ v_0 = 0 $ и проходит путь $ S $ (равный длине наклонной плоскости).
Формула для времени $ t $ равномерно ускоренного движения:
$$
S = \frac{1}{2} a t^2.
$$
Подставляем выражение для ускорения $ a $:
$$
S = \frac{1}{2} g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha) t^2.
$$
Из этого уравнения можно выразить время $ t $:
$$
t = \sqrt{\frac{2S}{g (\sin \alpha - \mu \cos \alpha)}}.
$$
4. Расчётные параметры:
− Длина наклонной плоскости ($ S $) равна $ 4 \, \text{м} $.
− Угол наклона ($ \alpha $) равен $ 60^\circ $.
− Коэффициент трения ($ \mu $) равен $ 0,2 $.
− Ускорение свободного падения ($ g $) принимается равным $ 9,8 \, \text{м/с}^2 $.
5. Тригонометрические функции:
Для угла $ 60^\circ $:
− $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 $,
− $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} = 0,5 $.
Таким образом, подставляя известные значения в формулу для времени $ t $, можно найти ответ.
Пожауйста, оцените решение
