С каким ускорением скользит тело по наклонной плоскости с углом наклона α = 30° при коэффициенте трения μ = 0,2?
Дано:
α = 30°;
g ≈ 10 Н/кг;
μ = 0,2.
Найти:
a − ?
Решение:
Изобразим все силы, действующие на тело: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила реакции опоры $\overset{→}{N}$, сила трения $\overset{→}{F_{тр}}$, направленную противоположно скорости движения.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
$\overset{→}{mа} = \overset{→}{mg} + \overset{→}{N} + \overset{→}{F_{тр}}$;
Выберем Ось X параллельно и ось Y перпендикулярно наклонной плоскости. Спроецируем уравнение на координатные оси:
ось X: $ma = mgsinα - F_{тр}$;
ось Y: 0 = N − mgcosα;
Найдем силу реакции опоры N;
N = mgcosα;
Найдем ускорение тела:
$ma = mgsinα - F_{тр} = mgsinα - μN = mgsinα - μ * mgcosα = mg * (sinα - μcosα)$;
$a = \frac{mg * (sinα - μcosα)}{m} = g * (sinα - μcosα)$;
$a = 10 * (sin30 - 0,2 * cos30) = 3,3 м/с^{2}$.
Ответ: 3,3 $м/с^{2}$.
Для решения этой задачи давайте разберём всю теоретическую часть, которая потребуется для понимания физического процесса и вычисления ускорения тела, скользящего по наклонной плоскости.
Тело, находящееся на наклонной плоскости, подвергается действию следующих сил:
− Сила тяжести $(F_t)$: действует вертикально вниз и равна $F_t = m \cdot g$, где $m$ — масса тела, $g = 9,8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.
− Сила нормальной реакции опоры $(N)$: это сила, с которой плоскость действует на тело. Она всегда перпендикулярна поверхности наклонной плоскости.
− Сила трения скольжения $(F_{\text{тр}})$: действует вдоль плоскости и препятствует движению тела. Эта сила рассчитывается как $F_{\text{тр}} = \mu \cdot N$, где $\mu$ — коэффициент трения.
− Составляющая силы тяжести вдоль плоскости $(F_{\parallel})$: это часть силы тяжести, которая «стремится» сдвинуть тело вниз по наклонной плоскости. Она равна $F_{\parallel} = m \cdot g \cdot \sin\alpha$.
− Составляющая силы тяжести, перпендикулярная плоскости $(F_{\perp})$: это часть силы тяжести, которая «вдавливает» тело в плоскость. Она равна $F_{\perp} = m \cdot g \cdot \cos\alpha$.
Сила нормальной реакции опоры $N$ уравновешивает составляющую силы тяжести, перпендикулярную поверхности:
$$
N = F_{\perp} = m \cdot g \cdot \cos\alpha.
$$
Сила трения скольжения определяется как произведение коэффициента трения на силу нормальной реакции:
$$
F_{\text{тр}} = \mu \cdot N = \mu \cdot (m \cdot g \cdot \cos\alpha).
$$
Если тело скользит вниз, на него действует результирующая сила, которая определяется как разность между составляющей силы тяжести вдоль плоскости и силой трения:
$$
F_{\text{рез}} = F_{\parallel} - F_{\text{тр}}.
$$
Подставляем выражения для $F_{\parallel}$ и $F_{\text{тр}}$:
$$
F_{\text{рез}} = m \cdot g \cdot \sin\alpha - \mu \cdot (m \cdot g \cdot \cos\alpha).
$$
Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела связано с результирующей силой:
$$
F_{\text{рез}} = m \cdot a,
$$
где $a$ — искомое ускорение тела. Подставляем $F_{\text{рез}}$ из предыдущего шага:
$$
m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin\alpha - \mu \cdot (m \cdot g \cdot \cos\alpha).
$$
Масса $m$ присутствует в каждом слагаемом и сокращается:
$$
a = g \cdot \sin\alpha - \mu \cdot g \cdot \cos\alpha.
$$
Ускорение тела $a$ при движении по наклонной плоскости выражается через угол наклона $\alpha$, коэффициент трения $\mu$ и ускорение свободного падения $g$:
$$
a = g \cdot (\sin\alpha - \mu \cdot \cos\alpha).
$$
Теперь, зная угол наклона $\alpha = 30^\circ$, коэффициент трения $\mu = 0,2$ и $g = 9,8 \, \text{м/с}^2$, можно подставить эти значения в формулу и вычислить ускорение $a$.
Пожауйста, оцените решение
