На гладкой наклонной плоскости длиной 2 м и высотой 1 м лежит груз массой 100 кг. С какой силой груз давит на наклонную плоскость? Какую силу необходимо приложить к грузу, чтобы удержать его на наклонной плоскости? Как изменится модуль этой силы, если поверхность шероховатая и коэффициент трения равен 0,1?
Дано:
l = 2 м;
h = 1 м;
m = 100 кг;
g ≈ 10 Н/кг;
μ = 0,1.
Найти:
P − ?
$F_{1}$ − ?
$F_{2}$ − ?
Решение:
Изобразим все силы, действующие на тело: сила тяжести $\overset{→}{mg}$, сила реакции опоры $\overset{→}{N}$, сила трения $\overset{→}{F_{тр}}$, направленную противоположно скорости движения.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме (для случая, когда поверхность гладкая, $\overset{→}{F_{тр}}$ = 0):
$\overset{→}{mа} = \overset{→}{mg} + \overset{→}{N}$;
Выберем Ось X параллельно и ось Y перпендикулярно наклонной плоскости. Спроецируем уравнение на координатные оси:
ось X: ma = mgsinα;
ось Y: 0 = N − mgcosα;
Найдем угол наклона поверхности:
$sinα = \frac{h}{l} = \frac{1}{2} = 0,5$;
$cosα = \frac{\sqrt{l^{2} - h_{2}}}{l} = \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,87$;
Найдем силу реакции опоры N и соответственно вес тела P:
N = P = mgcosα;
P = 100 * 10 * 0,87 = 870 Н.
Найдем силу, которую необходимо приложить к грузу, чтобы удержать его на наклонной плоскости:
$F_{1} = ma = 100 * 10 * 0,5 = 500$ Н.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме, если на тело действует сила трения:
$\overset{→}{mа} = \overset{→}{mg} + \overset{→}{N} + \overset{→}{F_{тр}}$;
ось X:$ ma = mgsinα - F_{тр} = mgsinα - μN = mgsinα - μ * mgcosα = mg * (sinα - μcosα)$;
$F_{2} = 100 * 10 * (0,5 - 0,1 * 0,87) = 413$ Н.
Ответ: 870 Н; 500 Н; 413 Н.
Для решения задачи нужно рассмотреть физические законы, которые описывают движение тел и взаимодействие силы тяжести, реакции опоры, силы трения и силы, приложенной к телу. Вот подробное теоретическое описание.
1. Разложение силы тяжести на компоненты.
Сила тяжести $ F_g $ направлена вертикально вниз и равна:
$$
F_g = m \cdot g,
$$
где:
− $ m $ — масса тела, в данном случае 100 кг,
− $ g $ — ускорение свободного падения, приблизительно 9,8 м/с².
Если тело находится на наклонной плоскости, сила тяжести разлагается на две составляющие:
− $ F_{\perp} $ — компонента силы тяжести, перпендикулярная наклонной плоскости; она вызывает реакцию опоры,
− $ F_\parallel $ — компонента силы тяжести, параллельная наклонной плоскости; она стремится сдвинуть тело вниз по наклонной плоскости.
Эти компоненты можно определить через угол наклона $ \alpha $ плоскости:
$$
F_\perp = F_g \cdot \cos\alpha,
$$
$$
F_\parallel = F_g \cdot \sin\alpha.
$$
Угол наклона $ \alpha $ можно найти из геометрии наклонной плоскости, зная высоту $ h $ и длину $ l $. По определению синуса:
$$
\sin\alpha = \frac{h}{l}.
$$
2. Сила, с которой груз давит на плоскость.
Сила $ F_\perp $, перпендикулярная наклонной плоскости, равна силе реакции опоры. Это и есть сила, с которой груз давит на плоскость. Её можно вычислить, используя $ F_\perp = F_g \cdot \cos\alpha $. Для нахождения $ \cos\alpha $ можно воспользоваться следующим соотношением:
$$
\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}.
$$
3. Сила, необходимая для удержания груза на месте.
Чтобы удержать груз на наклонной плоскости, нужно приложить силу $ F_{\text{удерж}} $, равную и противоположную компоненте силы тяжести $ F_\parallel $, которая стремится сдвинуть груз вниз. То есть:
$$
F_{\text{удерж}} = F_\parallel = F_g \cdot \sin\alpha.
$$
4. Влияние силы трения на задачу.
Если наклонная плоскость шероховатая, то появляется сила трения $ F_{\text{тр}} $, которая препятствует скольжению тела вниз. Сила трения определяется как:
$$
F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_\perp,
$$
где:
− $ \mu $ — коэффициент трения (в данном случае 0,1),
− $ F_\perp $ — сила реакции опоры, которая равна $ F_g \cdot \cos\alpha $.
В этом случае, для удержания тела на месте, необходимо приложить силу $ F_{\text{удерж, трение}} $, которая компенсирует разность между $ F_\parallel $ и $ F_{\text{тр}} $:
$$
F_{\text{удерж, трение}} = F_\parallel - F_{\text{тр}}.
$$
Если $ F_{\text{тр}} > F_\parallel $, то тело не будет двигаться вниз даже без приложения внешней силы.
5. Итоговые уравнения для задачи.
Сила, с которой груз давит на плоскость:
$$
F_\perp = F_g \cdot \cos\alpha.
$$
Сила для удержания груза на гладкой плоскости:
$$
F_{\text{удерж}} = F_\parallel = F_g \cdot \sin\alpha.
$$
Сила для удержания груза на шероховатой плоскости с учётом трения:
$$
F_{\text{удерж, трение}} = F_\parallel - F_{\text{тр}},
$$
где $ F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_\perp $.
Далее можно подставить численные значения и выполнить расчёты.
Пожауйста, оцените решение
