Два спутника вращаются вокруг Земли по круговым орбитам на расстояниях 7600 и 600 км от её поверхности. Определите отношение скорости первого спутника к скорости второго.

Для решения задачи необходимо рассмотреть теоретические аспекты движения спутников по круговым орбитам вокруг Земли.

1. Природа движения спутника вокруг Земли

Спутники движутся вокруг Земли под действием силы тяжести, которая обеспечивает необходимую центростремительную силу для кругового движения. Для круговой орбиты центростремительная сила равна силе гравитационного притяжения.

Формула гравитационной силы:
$$ F_g = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2}, $$
где:
− $ F_g $ — сила гравитационного притяжения,
− $ G $ — гравитационная постоянная ($ 6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3 \text{кг}^{-1} \text{с}^{-2} $),
− $ M $ — масса Земли ($ 5.972 \cdot 10^{24} \, \text{кг} $),
− $ m $ — масса спутника,
− $ r $ — расстояние от центра Земли до спутника (радиус орбиты).

Центростремительная сила:
$$ F_c = \frac{m \cdot v^2}{r}, $$
где:
− $ F_c $ — центростремительная сила,
− $ v $ — орбитальная скорость спутника,
− $ r $ — радиус орбиты.

Для кругового движения сила гравитационного притяжения равна центростремительной силе:
$$ F_g = F_c. $$

Подставляя соответствующие выражения:
$$ \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r}. $$

Масса спутника $ m $ сокращается, и мы получаем выражение для орбитальной скорости $ v $:
$$ v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}. $$

2. Зависимость скорости спутника от радиуса орбиты

Из полученной формулы видно, что орбитальная скорость $ v $ зависит от радиуса орбиты $ r $. Чем больше радиус орбиты, тем меньше скорость спутника, так как $ v $ обратно пропорциональна корню квадратному из $ r $:
$$ v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}. $$

3. Радиус орбиты

Радиус орбиты $ r $ спутника состоит из радиуса Земли $ R $ и высоты орбиты $ h $ над поверхностью Земли:
$$ r = R + h, $$
где:
− $ R $ — радиус Земли ($ \approx 6371 \, \text{км} $),
− $ h $ — высота орбиты над поверхностью.

Таким образом, для двух спутников:
− Первый спутник находится на высоте $ h_1 = 7600 \, \text{км} $, его радиус орбиты $ r_1 = R + h_1 = 6371 + 7600 \, \text{км} $.
− Второй спутник находится на высоте $ h_2 = 600 \, \text{км} $, его радиус орбиты $ r_2 = R + h_2 = 6371 + 600 \, \text{км} $.

4. Отношение скоростей

Согласно зависимости $ v \propto \frac{1}{\sqrt{r}} $, отношение орбитальных скоростей двух спутников можно найти как:
$$ \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}, $$
где $ r_1 $ и $ r_2 $ — радиусы орбит первого и второго спутников соответственно.

Для расчета данного отношения необходимо подставить значения радиусов орбит $ r_1 $ и $ r_2 $.