Рассчитайте скорость движения спутника вокруг Земли по круговой орбите на высоте, равной радиусу Земли, если первая космическая скорость у поверхности Земли равна 8 км/с.

Для решения задачи о скорости движения спутника на круговой орбите следует учитывать законы механики, гравитации и особенности движения по круговой орбите. Разберем все ключевые моменты:

1. Гравитация и центростремительное ускорение Спутник, находящийся на круговой орбите, движется под действием силы гравитационного притяжения. Эта сила обеспечивает необходимое центростремительное ускорение, которое удерживает спутник на орбите. Гравитационная сила $ F_g $ между спутником и Землей описывается законом всемирного тяготения: $$ F_g = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2}, $$ где:
   • $ G $ — гравитационная постоянная ($ 6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2 $),
   • $ M $ — масса Земли ($ 5.972 \cdot 10^{24} \, \text{кг} $),
   • $ m $ — масса спутника,
   • $ r $ — расстояние от центра Земли до спутника.

Центростремительное ускорение $ a_c $, которое испытывает спутник, движущийся по круговой орбите, связано с его скоростью $ v $:
$$ a_c = \frac{v^2}{r}. $$

Для круговой орбиты сила гравитационного притяжения $ F_g $ равна силе, создающей центростремительное ускорение:
$$ \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}. $$
Выражение для скорости спутника можно получить, сократив массу $ m $ спутника и решив уравнение относительно $ v $:
$$ v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}. $$

1. Радиус орбиты
   Спутник находится на высоте, равной радиусу Земли. Это означает, что его расстояние от центра Земли $ r $ равно $ 2R $, где $ R $ — радиус Земли ($ R \approx 6371 \, \text{км} $).

2. Первая космическая скорость
   Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую должен иметь объект, чтобы двигаться по круговой орбите у поверхности Земли.
   Формула для первой космической скорости $ v_1 $ выглядит так:
   $$ v_1 = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}. $$
   Задача упрощается тем, что первая космическая скорость уже дана ($ v_1 = 8 \, \text{км/с} $).

3. Скорость на высоте, равной радиусу Земли
   На высоте $ R $ от поверхности Земли (то есть на расстоянии $ 2R $ от центра Земли), сила гравитационного притяжения уменьшается, так как расстояние $ r $ увеличивается.
   Скорость на круговой орбите на высоте $ R $ можно выразить через первую космическую скорость:
   $$ v = v_1 \cdot \sqrt{\frac{R}{2R}}. $$
   Тут используется пропорциональность скорости от обратного корня радиуса орбиты.

4. Итоговая формула
   Окончательная формула для скорости спутника на круговой орбите на высоте, равной радиусу Земли, выглядит так:
   $$ v = v_1 \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}, $$
   где $ v_1 = 8 \, \text{км/с} $.

Таким образом, после подстановки значений можно вычислить скорость спутника на данной орбите.