Плотность некоторой планеты такая же, как и у Земли, а её радиус вдвое меньше. Найдите отношение первой космической скорости для Земли к аналогичной величине для некоторой планеты.
Дано:
$ρ_{п} = ρ_{з}$;
$R_{з} = 2R_{п}$.
Найти:
$\frac{v_{з}}{v_{п}}$ − ?
Решение:
Масса планеты равна:
$M = ρV = ρ * \frac{4}{3}πR^{3}$;
Первая космическая скорость равна:
$v = \sqrt{G * \frac{M}{R}} = \sqrt{G * \frac{ρ * \frac{4}{3}πR^{3}}{R}} = \sqrt{\frac{4GρπR^{3}}{3R}} = 2R\sqrt{\frac{Gρπ}{3}}$;
Найдем отношение скоростей:
$\frac{v_{з}}{v_{п}} = \frac{2R_{з}\sqrt{\frac{Gρ_{з}π}{3}}}{2R_{п}\sqrt{\frac{Gρ_{п}π}{3}}} = \frac{R_{з}}{R_{п}} = \frac{2R_{п}}{R_{п}} = 2$.
Ответ: 2.
Для решения задачи необходимо использовать знания из механики, а именно понятие первой космической скорости. Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую нужно сообщить объекту, чтобы он начал двигаться по круговой орбите вокруг планеты, оказываясь в состоянии невесомости за счет центростремительного ускорения.
Формула для первой космической скорости $v_\text{1}$ представляет собой следующее выражение:
$$ v_\text{1} = \sqrt{\frac{G M}{R}}, $$
где:
− $G$ — гравитационная постоянная ($6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2$),
− $M$ — масса планеты,
− $R$ — радиус планеты.
Массу планеты можно выразить через плотность и объем. Формула объема для сферы:
$$ V = \frac{4}{3} \pi R^3, $$
а масса:
$$ M = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3, $$
где:
− $\rho$ — плотность планеты,
− $V$ — объем планеты,
− $R$ — радиус планеты.
Таким образом, масса $M$ зависит от радиуса $R$ и плотности $\rho$:
$$ M = \frac{4}{3} \pi \rho R^3. $$
Подставляя выражение для массы $M$ в формулу первой космической скорости, получаем:
$$ v_\text{1} = \sqrt{\frac{G \cdot \left(\frac{4}{3} \pi \rho R^3\right)}{R}} = \sqrt{\frac{4}{3} \pi G \rho R^2}. $$
Таким образом, первая космическая скорость $v_\text{1}$ зависит от плотности $\rho$ и радиуса $R$ планеты:
$$ v_\text{1} \sim R \cdot \sqrt{\rho}. $$
В задаче указано, что плотность новой планеты такая же, как у Земли ($\rho_\text{планеты} = \rho_\text{Земли}$), а радиус планеты вдвое меньше ($R_\text{планеты} = \frac{R_\text{Земли}}{2}$).
Необходимо найти отношение первой космической скорости для Земли ($v_\text{1, Земли}$) к первой космической скорости для новой планеты ($v_\text{1, планеты}$).
Для Земли первая космическая скорость:
$$ v_\text{1, Земли} = R_\text{Земли} \cdot \sqrt{\rho_\text{Земли}}. $$
Для новой планеты:
$$ v_\text{1, планеты} = R_\text{планеты} \cdot \sqrt{\rho_\text{планеты}}. $$
Поскольку $\rho_\text{планеты} = \rho_\text{Земли}$ и $R_\text{планеты} = \frac{R_\text{Земли}}{2}$, можно выразить отношение скоростей:
$$ \frac{v_\text{1, Земли}}{v_\text{1, планеты}} = \frac{R_\text{Земли}}{R_\text{планеты}}, $$
а далее подставить $R_\text{планеты} = \frac{R_\text{Земли}}{2}$.
Пожауйста, оцените решение
