Радиус окружности, по которой движется Фобос (спутник планеты Марс), равен 9400 км, а его период обращения равен 46 мин. Определите массу Марса.

Для решения задачи необходимо использовать законы физики, связанные с гравитационным взаимодействием, движением тел по окружности и законом всемирного тяготения. Разберём теоретическую часть подробно.

1. Закон всемирного тяготения:

Согласно этому закону, два тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Формула закона всемирного тяготения:

$$ F = G \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2} $$

где:
− $F$ — сила гравитационного притяжения,
− $G$ — гравитационная постоянная ($G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н·м}^2/\text{кг}^2$),
− $m_1$ и $m_2$ — массы взаимодействующих тел,
− $r$ — расстояние между центрами масс этих тел.

В данной задаче $m_1$ — масса Марса, $m_2$ — масса Фобоса, а $r$ — радиус орбиты Фобоса.

2. Движение по окружности:

При движении Фобоса вокруг Марса действует центростремительная сила, которая удерживает спутник на орбите. Эта сила вызвана гравитационным притяжением Марса. Формула центростремительной силы:

$$ F_c = \frac{m_2 v^2}{r} $$

где:
− $F_c$ — центростремительная сила,
− $m_2$ — масса Фобоса,
− $v$ — линейная скорость Фобоса,
− $r$ — радиус орбиты.

Поскольку центростремительная сила обеспечивается силой гравитации, мы можем записать равенство:

$$ F_c = F $$

Таким образом, для данной задачи выполняется следующее соотношение:

$$ G \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2} = \frac{m_2 v^2}{r} $$

После сокращения массы $m_2$ (она встречается в обеих частях уравнения и не учитывается в итоговом расчёте) получается:

$$ G \cdot \frac{m_1}{r^2} = \frac{v^2}{r} $$

Теперь выразим массу Марса $m_1$:

$$ m_1 = \frac{v^2 \cdot r}{G} $$

3. Линейная скорость $v$:

Линейную скорость движения спутника по орбите можно выразить через его период $T$ (время, за которое спутник совершает полный оборот вокруг Марса). Для этого используется формула:

$$ v = \frac{2 \pi r}{T} $$

где:
− $v$ — линейная скорость движения,
− $r$ — радиус орбиты,
− $T$ — период обращения.

4. Перевод единиц:

Перед подстановкой значений необходимо перевести все величины в единицы СИ:
− Радиус $r$ уже задан в километрах: $9400 \, \text{км} = 9.4 \times 10^6 \, \text{м}$,
− Период $T$: $46 \, \text{мин}$ нужно перевести в секунды: $46 \cdot 60 = 2760 \, \text{с}$.

Теперь скорость $v$ можно выразить через заданный радиус и период:

$$ v = \frac{2 \pi r}{T} $$

После вычисления $v$, её можно подставить в формулу для массы Марса $m_1$:

$$ m_1 = \frac{v^2 \cdot r}{G} $$

5. Итоговая формула:

Подставив выражение для скорости $v$, окончательная формула для массы Марса приобретает вид:

$$ m_1 = \frac{\left( \frac{2 \pi r}{T} \right)^2 \cdot r}{G} $$

Здесь:
− $r$ — радиус орбиты (в метрах),
− $T$ — период обращения (в секундах),
− $G$ — гравитационная постоянная.

6. Заключение:

Теперь, используя эту теоретическую основу, можно подставить численные значения и вычислить массу Марса.