Может ли спутник обращаться вокруг Земли по круговой орбите со скоростью 1км/с? При каком условии это возможно?

Для решения задачи, связанной с движением спутника вокруг Земли, нужно учитывать законы классической механики и гравитации, а именно второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения. Давайте разберем теоретическую часть, которая поможет понять условия, при которых спутник может двигаться по круговой орбите.

1. Гравитационная сила и движение спутника Спутник, двигающийся по круговой орбите вокруг Земли, находится под действием силы гравитации, которая обеспечивает его центростремительное ускорение. Сила гравитации, действующая между спутником и Землей, рассчитывается по формуле:

$$ F_{г} = G \frac{M \cdot m}{r^2} $$

где:
− $ F_{г} $ — сила гравитации;
− $ G $ — гравитационная постоянная ($G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{Н·м}^2/\text{кг}^2$);
− $ M $ — масса Земли ($M \approx 5.972 \cdot 10^{24} \, \text{кг}$);
− $ m $ — масса спутника;
− $ r $ — расстояние от центра Земли до спутника (радиус орбиты).

Эта сила является центростремительной, то есть она направлена к центру Земли и обеспечивает движение спутника по круговой орбите.

1. Центростремительное ускорение Для кругового движения спутника его центростремительное ускорение $ a_c $ определяется по формуле:

$$ a_c = \frac{v^2}{r} $$

где:
− $ v $ — скорость спутника;
− $ r $ — радиус орбиты.

Центростремительное ускорение связано со силой ($ F $) через второй закон Ньютона:
$$ F = m \cdot a_c $$

Итак, сила, обеспечивающая центростремительное ускорение, в данном случае — это сила гравитации $ F_{г} $.

1. Условие круговой орбиты Для спутника, движущегося по круговой орбите, сила гравитации должна равняться силе, необходимой для поддержания его центростремительного ускорения: $$ F_{г} = F_{ц} $$

Так как $ F_{г} = G \frac{M \cdot m}{r^2} $ и $ F_{ц} = m \cdot \frac{v^2}{r} $, то:
$$ G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r} $$

При сокращении массы спутника ($ m $) и преобразовании получаем:
$$ v^2 = G \frac{M}{r} $$

Или:
$$ v = \sqrt{G \frac{M}{r}} $$

Эта формула дает связь между радиусом орбиты $ r $, скоростью $ v $ спутника и основными физическими параметрами (гравитационная постоянная $ G $ и масса Земли $ M $).

1. Проверка скорости Если заданы скорость спутника ($ v $) и необходимо выяснить, возможно ли существование круговой орбиты, нужно рассчитать радиус орбиты $ r $, при котором эта скорость соответствует движению по круговой орбите. Радиус орбиты вычисляется как: $$ r = \frac{G \cdot M}{v^2} $$

В свою очередь, радиус орбиты должен быть больше радиуса Земли ($ R_{\text{Земли}} \approx 6371 \, \text{км} $), чтобы спутник находился в пространстве вне атмосферы.

1. Практические ограничения На практике необходимо учитывать некоторые дополнительные моменты:
2. Указанная скорость ($ v = 1 \, \text{км/с} $) должна быть сопоставима с минимальной первой космической скоростью, которая зависит от гравитационного поля Земли. Первая космическая скорость — это минимальная скорость, необходимая для того, чтобы объект двигался по круговой орбите вблизи поверхности Земли. Для Земли она составляет примерно $ 7.9 \, \text{км/с} $.
3. Если скорость спутника меньше первой космической скорости, то он упадет на Землю, а если больше, то его орбита станет эллиптической или он покинет Землю.

Таким образом, для скорости $ v = 1 \, \text{км/с} $, необходимо проверить, соответствует ли радиус орбиты условию, что $ r > R_{\text{Земли}} $.