Какую скорость должен иметь искусственный спутник Земли, чтобы он вращался по круговой орбите на высоте, равной двум радиусам Земли; трём радиусам Земли над поверхностью Земли? Радиус Земли равен 6400 км.

Чтобы решить эту задачу, нужно применить основы классической механики и гравитации. Рассмотрим следующие концепции и формулы:

1. Гравитационная сила: Спутник удерживается на орбите благодаря гравитационной силе, которая действует между Землей и спутником. Эту силу можно выразить через закон всемирного тяготения:

$$ F_g = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} $$

где:
− $ F_g $ — гравитационная сила,
− $ G $ — гравитационная постоянная ($6,674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3\text{/кг}\cdot\text{с}^2$),
− $ M $ — масса Земли ($5,972 \times 10^{24} \, \text{кг}$),
− $ m $ — масса спутника,
− $ r $ — расстояние от центра Земли до спутника.

1. Центростремительная сила: Для кругового движения спутника центростремительная сила, необходимая для поддержания этого движения, равна:

$$ F_c = \frac{m \cdot v^2}{r} $$

где:
− $ F_c $ — центростремительная сила,
− $ v $ — орбитальная скорость.

1. Уравнение движения по орбите: Для равномерного кругового движения гравитационная сила должна быть равна центростремительной силе:

$$ \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r} $$

При этом массы спутника ($ m $) сокращаются, и уравнение упрощается до:

$$ v^2 = \frac{G \cdot M}{r} $$

Отсюда орбитальная скорость $ v $ равна:

$$ v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}} $$

1. Расчет радиуса орбиты: В задаче требуется найти скорость спутника на определенных высотах над поверхностью Земли. Высота над поверхностью Земли связана с радиусом орбиты следующим образом:

$$ r = R_{\text{Земли}} + h $$

где:
− $ R_{\text{Земли}} $ — радиус Земли ($6400 \, \text{км}$),
− $ h $ — высота спутника над поверхностью Земли.

Для высоты, равной двум радиусам Земли, полное расстояние от центра Земли будет $ r = 3 \cdot R_{\text{Земли}} $.

Для высоты, равной трём радиусам Земли, полное расстояние будет $ r = 4 \cdot R_{\text{Земли}} $.

1. Подстановка значений: После определения значений радиуса орбиты для каждой из высот, подставьте их в формулу для расчета скорости.

Теперь, используя эту информацию, вы сможете подставить соответствующие значения и вычислить орбитальную скорость спутника для каждой высоты.