Сравните скорости движения искусственных спутников Земли и Венеры при движении по орбитам, одинаково удалённым от центров планет. Масса Венеры составляет 0,815 массы Земли.
Дано:
$r = R$;
m = 0,815M.
Найти:
$\frac{v_{2}}{v_{1}}$ − ?
СИ:
$h_{1} = 21 600 000$ м;
$h_{2} = 600 000$ м;
R = 6 400 000 м.
Решение:
Первая космическая скорость равна:
$v = \sqrt{G * \frac{M_{з}}{R}}$;
$\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{\sqrt{G * \frac{M}{R}}}{\sqrt{G * \frac{m}{r}}} = \sqrt {\frac{G * \frac{M}{R}}{G * \frac{m}{r}}} = \sqrt {\frac{R * M}{R * 0,815M}} = \sqrt{1,227} = 1,11$.
Ответ: Скорость спутника Земли в 1,11 раза больше.
Для начала следует разобрать основные физические закономерности, которые помогут разобраться в этом вопросе. Задача связана с движением спутников по орбитам вокруг планет, поэтому здесь необходимо учитывать законы небесной механики и природу гравитационного взаимодействия.
Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения между двумя телами (в данном случае между планетой и её спутником) описывается формулой:
$$
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2},
$$
где:
− $ F $ — сила гравитационного притяжения,
− $ G $ — гравитационная постоянная ($ G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2} $),
− $ m_1 $ — масса первого объекта (планеты),
− $ m_2 $ — масса второго объекта (спутника),
− $ r $ — расстояние между центрами масс этих объектов.
При движении спутника по круговой орбите сила гравитационного притяжения играет роль центростремительной силы, которая удерживает спутник на орбите. Центростремительная сила выражается как:
$$
F_\text{ц} = \frac{m_2 v^2}{r},
$$
где:
− $ m_2 $ — масса спутника,
− $ v $ — линейная скорость спутника,
− $ r $ — радиус орбиты (расстояние от центра планеты до спутника).
Для круговой орбиты гравитационная сила уравновешивает центростремительную силу:
$$
F = F_\text{ц}.
$$
Подставим выражения для $ F $ и $ F_\text{ц} $ из формул выше:
$$
G \frac{m_1 m_2}{r^2} = \frac{m_2 v^2}{r}.
$$
Сократим $ m_2 $ (массу спутника), так как она присутствует в обеих частях уравнения, и умножим на $ r $, чтобы избавиться от дробей:
$$
G \frac{m_1}{r} = v^2.
$$
Теперь выразим скорость $ v $:
$$
v = \sqrt{G \frac{m_1}{r}},
$$
где:
− $ v $ — линейная скорость спутника,
− $ G $ — гравитационная постоянная,
− $ m_1 $ — масса планеты,
− $ r $ — радиус орбиты (расстояние от центра планеты до спутника).
Эта формула показывает, что скорость спутника зависит от массы планеты, вокруг которой он движется, и радиуса орбиты.
В задаче указано, что радиусы орбит спутников одинаковы для обеих планет ($ r_\text{Земли} = r_\text{Венеры} = r $), а масса Венеры составляет $ 0.815 \cdot m_\text{Земли} $. Используем формулу для $ v $ и выразим отношение скоростей спутников:
$$ \frac{v_\text{Венеры}}{v_\text{Земли}} = \sqrt{\frac{G \cdot m_\text{Венеры} / r}{G \cdot m_\text{Земли} / r}}. $$
Сократим одинаковые множители ($ G $ и $ r $):
$$
\frac{v_\text{Венеры}}{v_\text{Земли}} = \sqrt{\frac{m_\text{Венеры}}{m_\text{Земли}}}.
$$
Подставим $ m_\text{Венеры} = 0.815 \cdot m_\text{Земли} $:
$$
\frac{v_\text{Венеры}}{v_\text{Земли}} = \sqrt{0.815}.
$$
Скорость спутника Венеры меньше скорости спутника Земли на одинаковой орбите, так как масса Венеры меньше массы Земли. Окончательное значение скорости спутника Венеры относительно спутника Земли можно найти, подставив численное значение $ \sqrt{0.815} $.
Пожауйста, оцените решение
