Во сколько раз скорость искусственного спутника, движущегося на высоте 21 600 км над поверхностью Земли, меньше скорости спутника, движущегося на высоте 600 км над поверхностью? Радиус Земли 6400 км.

Для решения данной задачи следует воспользоваться законами физики, связанными с движением тел в гравитационном поле. Основным принципом, используемым здесь, является закон всемирного тяготения Ньютонa и условия равновесия спутника в круговой орбите.

1. Основные понятия и закономерности: Спутник движется по круговой орбите благодаря действию силы тяжести. Эта сила является центростремительной и удерживает спутник на орбите. Для движения спутника в круговой орбите выполняется баланс центростремительной силы и силы гравитационного притяжения.

Сила гравитационного притяжения между спутником и Землей определяется формулой:
$$ F_{\text{грав}} = G \frac{M m}{r^2}, $$
где:
− $G$ — гравитационная постоянная ($6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2$);
− $M$ — масса Земли ($5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}$);
− $m$ — масса спутника;
− $r$ — расстояние от центра Земли до спутника.

Центростремительная сила, необходимая для движения спутника по круговой орбите, выражается как:
$$ F_{\text{центр}} = m \frac{v^2}{r}, $$
где $v$ — скорость спутника.

Для движения спутника в круговой орбите выполняется равенство:
$$ F_{\text{грав}} = F_{\text{центр}}, $$
что приводит к следующему соотношению:
$$ G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}. $$

1. Выражение для скорости спутника:
   Масса спутника ($m$) сокращается, и мы получаем формулу для орбитальной скорости спутника:
   $$ v = \sqrt{\frac{G M}{r}}, $$
   где $r$ — расстояние от центра Земли до спутника (радиус орбиты). Радиус орбиты спутника ($r$) находится как сумма радиуса Земли ($R_{\text{Земли}}$) и высоты спутника над поверхностью ($h$):
   $$ r = R_{\text{Земли}} + h. $$

2. Зависимость скорости от радиуса орбиты:
   Из формулы видно, что скорость спутника обратно пропорциональна квадратному корню радиуса орбиты:
   $$ v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}. $$
   Это означает, что чем дальше спутник находится от Земли, тем меньше его орбитальная скорость.

3. Сравнение скоростей спутников:
   Пусть скорость спутника на высоте $h_1 = 600 \, \text{км}$ над поверхностью Земли равна $v_1$, а скорость спутника на высоте $h_2 = 21 \, 600 \, \text{км}$ равна $v_2$. Тогда отношение скоростей спутников можно записать как:
   $$ \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}, $$
   где:
   $$ r_1 = R_{\text{Земли}} + h_1, \quad r_2 = R_{\text{Земли}} + h_2. $$

4. Заключение:
   Для выполнения сравнения скоростей спутников необходимо подставить значения высот $h_1$ и $h_2$, а также радиус Земли $R_{\text{Земли}} = 6400 \, \text{км}$ в формулы. После упрощений получится результат, который покажет, во сколько раз скорость одного спутника больше или меньше скорости другого.