Какую скорость имеет искусственный спутник, движущийся на высоте 300 км над поверхностью Земли? Чему равен его период обращения?

Для решения задачи необходимо использовать законы классической механики и законы всемирного тяготения. Вот подробная теоретическая часть, которая поможет разобраться с решением.

1. Центростремительная сила и гравитационное взаимодействие Искусственный спутник, движущийся по орбите вокруг Земли, находится под действием силы всемирного тяготения, которая действует как центростремительная сила, удерживая спутник на круговой траектории. Эта сила рассчитывается по формуле: $$ F_{\text{грав}} = G \frac{M m}{r^2}, $$ где:
2. $ G $ — гравитационная постоянная ($ G = 6,674 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2 $),
3. $ M $ — масса Земли ($ M \approx 5,97 \cdot 10^{24} \, \text{кг} $),
4. $ m $ — масса спутника,
5. $ r $ — расстояние от центра Земли до спутника ($ r = R + h $, где $ R $ — радиус Земли, а $ h $ — высота спутника над поверхностью Земли).

Центростремительная сила равна силе, которая заставляет спутник двигаться по круговой траектории. Центростремительная сила выражается как:
$$ F_{\text{ц}} = \frac{m v^2}{r}, $$
где $ v $ — скорость спутника.

Исходя из равенства $ F_{\text{грав}} = F_{\text{ц}} $, можно записать:
$$ G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}. $$

После сокращения массы спутника ($ m $) и упрощения уравнения получаем выражение для скорости спутника:
$$ v = \sqrt{\frac{G M}{r}}. $$

1. Расстояние от центра Земли до спутника
   Радиус Земли ($ R $) известен и равен примерно $ 6371 \, \text{км} $. Высота орбиты спутника ($ h $) дана в задаче и составляет $ 300 \, \text{км} $. Таким образом, полное расстояние до центра Земли будет:
   $$ r = R + h = 6371 \, \text{км} + 300 \, \text{км} = 6671 \, \text{км}. $$
   Для подстановки в формулы расстояние нужно перевести в метры: $ r = 6671 \cdot 10^3 \, \text{м} $.

2. Период обращения спутника
   Период обращения спутника ($ T $) — это время, за которое спутник совершает полный оборот по орбите. Для равномерного кругового движения период связан со скоростью и длиной окружности орбиты:
   $$ T = \frac{L}{v}, $$
   где $ L $ — длина орбиты. Для круговой орбиты длина окружности рассчитывается по формуле:
   $$ L = 2 \pi r. $$

Подставляя значение длины орбиты $ L $ в уравнение для периода, получаем:
$$ T = \frac{2 \pi r}{v}. $$

1. Связь скорости и периода
   На основе уравнения для скорости $ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} $ можно выразить период через известные параметры:
   $$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}. $$
   Этот результат получается после подстановки $ v $ в формулу периода $ T $.

2. Единицы измерения
   Обратите внимание, что для корректных расчетов все параметры должны быть приведены к международной системе единиц (СИ):

3. Масса Земли ($ M $) в килограммах,

4. Радиус ($ R $) и высота ($ h $) в метрах,

5. Гравитационная постоянная ($ G $) в соответствующих единицах.

6. Краткое резюме формул

7. Скорость спутника:
   $$ v = \sqrt{\frac{G M}{r}}. $$

8. Период обращения спутника:
   $$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}. $$