Средняя высота, на которой спутник движется над поверхностью Земли, 1700 км. Определите скорость движения и период обращения спутника, если радиус Земли 6400 км.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться теоретическими знаниями о движении спутников вокруг Земли. Это движение можно рассматривать как пример кругового движения под действием силы притяжения Земли, которая играет роль центростремительной силы.

1. Сила притяжения и центростремительная сила

Когда спутник движется вокруг Земли, на него действует сила притяжения, которая обеспечивает его движение по круговой орбите. Эта сила выражается законом всемирного тяготения Ньютона:

$$ F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}, $$

где:
− $ F $ — сила притяжения между спутником и Землей;
− $ G $ — гравитационная постоянная ($ G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2 $);
− $ m_1 $ — масса Земли ($ m_1 \approx 5.972 \cdot 10^{24} \, \text{кг} $);
− $ m_2 $ — масса спутника;
− $ r $ — расстояние между центром Земли и спутником (сумма радиуса Земли и высоты спутника над поверхностью).

Для кругового движения спутника сила притяжения играет роль центростремительной силы, которая поддерживает спутник на данной орбите. Центростремительная сила определяется следующим образом:

$$ F_{\text{центростремительная}} = m_2 \cdot \frac{v^2}{r}, $$

где:
− $ F_{\text{центростремительная}} $ — центростремительная сила;
− $ v $ — линейная скорость спутника;
− $ r $ — радиус орбиты (тот же, что и в формуле для силы притяжения).

Поскольку сила притяжения обеспечивает центростремительное движение, эти силы равны:

$$ G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} = m_2 \cdot \frac{v^2}{r}. $$

Упростим выражение, сократив $ m_2 $ (масса спутника):

$$ G \cdot \frac{m_1}{r^2} = \frac{v^2}{r}. $$

Умножив обе стороны на $ r $, получим формулу для скорости спутника:

$$ v = \sqrt{\frac{G \cdot m_1}{r}}. $$

2. Радиус орбиты

Радиус орбиты $ r $ спутника равен сумме радиуса Земли и высоты спутника над поверхностью Земли:

$$ r = R_{\text{земли}} + h, $$

где:
− $ R_{\text{земли}} = 6400 \, \text{км} $ — радиус Земли;
− $ h = 1700 \, \text{км} $ — высота спутника над поверхностью.

Перед подстановкой в формулы значения радиуса $ r $ следует перевести в метры, так как в формуле для вычисления скорости используются единицы СИ.

3. Период обращения спутника

Период обращения $ T $ спутника — это время, за которое спутник совершает полный оборот вокруг Земли. Он связан с линейной скоростью и длиной траектории:

$$ T = \frac{L}{v}, $$

где:
− $ L $ — длина окружности орбиты спутника;
− $ v $ — линейная скорость спутника.

Длина окружности орбиты определяется как:

$$ L = 2 \pi r, $$

где $ r $ — радиус орбиты.

Подставив $ L $ в формулу для периода, получим:

$$ T = \frac{2 \pi r}{v}. $$

Таким образом, чтобы найти период обращения, сначала нужно найти радиус орбиты $ r $, затем скорость $ v $, а после этого вычислить $ T $.

4. Порядок решения задачи

1. Вычислите радиус орбиты $ r $ как сумму радиуса Земли и высоты спутника над поверхностью Земли.
2. Используйте формулу для скорости:

$$ v = \sqrt{\frac{G \cdot m_1}{r}}. $$

1. Вычислите длину окружности $ L $ орбиты:

$$ L = 2 \pi r. $$

1. Найдите период обращения $ T $ спутника:

$$ T = \frac{L}{v}. $$