Найдите среднюю скорость движения Земли по орбите, если радиус орбиты $1,5*10^{11}$ м, а масса Солнца $2 * 10^{30}$ кг.
Дано:
$R = 1,5*10^{11}$ м;
$m_{с} = 2 * 10^{30}$ кг;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
$v_{з}$ − ?
Решение:
Сила притяжения Солнца и Земли:
$F = G * \frac{m_{с}m_{з}}{R^{2}}$;
Центростремительное ускорение Земли определим из второго закона Ньютона:
$a = \frac{F}{m_{з}}$;
Найдем скорость движения Земли на орбите:
$a = \frac{v^{2}}{R}$;
$v^{2} = aR$;
$v_{з} = \sqrt{aR} = \sqrt{\frac{FR}{m_{з}}} = \sqrt{\frac{G * \frac{m_{с}m_{з}}{R^{2}}R}{m_{з}}} = \sqrt{\frac{G * m_{с}}{R}}$;
$v_{з} = \sqrt{\frac{6,67 * 10^{-11} * 2 * 10^{30}}{1,5*10^{11}}} = \sqrt{8,89 * 10^{8}} = 29816$ м/с ≈30 км/с.
Ответ: 30 км/с.
Для решения задачи необходимо разобраться с несколькими ключевыми понятиями, связанными с механикой движения небесных тел. Давайте подробно рассмотрим теоретическую часть:
Земля движется вокруг Солнца по почти круговой орбите. Среднюю скорость её движения можно найти, исходя из закона сохранения механической энергии и закона всемирного тяготения.
Согласно этому закону, два тела с массами $m_1$ и $m_2$ притягиваются друг к другу с силой $F$, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
$$
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2},
$$
где:
− $G$ — гравитационная постоянная ($G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2$),
− $m_1$ — масса первого тела (в данном случае Солнца),
− $m_2$ — масса второго тела (в данном случае Земли),
− $r$ — расстояние между центрами масс этих тел.
Для движения по круговой орбите необходимо, чтобы сила тяжести играла роль центростремительной силы, поддерживающей движение Земли. Центростремительная сила рассчитывается как:
$$
F_{\text{цент}} = \frac{m v^2}{r},
$$
где:
− $m$ — масса Земли,
− $v$ — скорость движения Земли по орбите,
− $r$ — радиус орбиты.
Для устойчивого движения Земли сила всемирного тяготения должна равняться центростремительной силе:
$$
G \frac{m_{\text{Солнца}} m_{\text{Земли}}}{r^2} = \frac{m_{\text{Земли}} v^2}{r}.
$$
Здесь можно сократить массу Земли ($m_{\text{Земли}}$), так как она присутствует в обоих членах уравнения:
$$
G \frac{m_{\text{Солнца}}}{r^2} = \frac{v^2}{r}.
$$
Умножив обе части уравнения на $r$, получаем выражение для скорости:
$$
v = \sqrt{G \frac{m_{\text{Солнца}}}{r}}.
$$
В рамках упрощённого подхода (идеализированная круговая орбита) длину орбиты, которую проходит Земля за один год, можно вычислить по формуле длины окружности:
$$
L = 2 \pi r,
$$
где $r$ — радиус орбиты Земли.
Ещё одной важной характеристикой движения Земли является период обращения, то есть время, за которое она делает один полный оборот вокруг Солнца. Этот период равен одному году и составляет примерно:
$$
T \approx 365.25 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 \, \text{с}.
$$
Приближённо можно принять $T \approx 3.15 \cdot 10^7 \, \text{с}$.
Средняя скорость движения Земли по орбите можно найти следующим образом:
$$
v_{\text{ср}} = \frac{L}{T},
$$
где:
− $L$ — длина орбиты,
− $T$ — период обращения.
Таким образом, для определения средней скорости движения Земли по орбите можно использовать две разные подходы:
1. Использовать силу всемирного тяготения для нахождения скорости по формуле:
$$
v = \sqrt{G \frac{m_{\text{Солнца}}}{r}}.
$$
2. Использовать формулу средней скорости через длину окружности и период обращения:
$$
v_{\text{ср}} = \frac{2 \pi r}{T}.
$$
Оба подхода дают согласующийся результат, и задача сводится к подстановке численных значений в выбранную формулу.
Пожауйста, оцените решение
