Рассчитайте первую космическую скорость:
а) на планете Марс (масса $6,43 * 10^{23}$ кг, средний радиус $3,38 * 10^{6}$ м);
б) на планете Сатурн (масса $5,69 * 10^{26}$ кг, средний радиус $6,04 * 10^{7}$ м);
в) на планете Уран (масса $8,69 * 10^{25}$ кг, средний радиус $2,38 * 10^{7}$ м).

Для решения этой задачи необходимо обратиться к понятиям и формулам, связанным с первой космической скоростью. Давайте подробно разберем, что это за скорость, какие законы физики применяются для её расчета, и как мы можем вычислить её для различных планет.

Первая космическая скорость (v₁):
Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо придать объекту (например, спутнику), чтобы он начал двигаться по круговой орбите вокруг планеты, находясь на её поверхности (или на заданной высоте, если радиус уже задан). При достижении этой скорости объект не падает обратно на поверхность планеты благодаря компенсирующему действию центростремительного ускорения.

Для расчета первой космической скорости используется следующая формула:

$$ v₁ = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}} $$

где:
− $v₁$ — первая космическая скорость (м/с),
− $G$ — гравитационная постоянная ($6,67430 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3 \text{кг}^{-1} \text{с}^{-2}$),
− $M$ — масса планеты (кг),
− $R$ — радиус планеты (м).

Теоретическое обоснование формулы:
Формула $v₁ = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}$ выводится из равенства двух сил, которые действуют на тело, движущееся по круговой орбите вокруг планеты:
1. Сила гравитационного притяжения между планетой и телом:
$$ F_{\text{грав}} = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2}, $$
где:
− $F_{\text{грав}}$ — сила гравитационного притяжения,
− $m$ — масса тела на орбите,
− $R$ — радиус планеты,
− $M$ — масса планеты.

1. Центростремительная сила, которая удерживает тело на круговой орбите: $$ F_{\text{ц}} = \frac{m \cdot v^2}{R}, $$ где:
2. $F_{\text{ц}}$ — центростремительная сила,
3. $v$ — скорость тела,
4. $m$ — масса тела,
5. $R$ — радиус орбиты тела.

Для устойчивого движения по круговой орбите эти силы должны быть равны:
$$ F_{\text{грав}} = F_{\text{ц}}. $$

Подставим выражения для $F_{\text{грав}}$ и $F_{\text{ц}}$:
$$ \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} = \frac{m \cdot v^2}{R}. $$

Сократим массу $m$ (она не играет роли в расчете скорости) и умножим обе части уравнения на $R$:
$$ \frac{G \cdot M}{R} = v^2. $$

Из этого уравнения выражаем первую космическую скорость $v₁$:
$$ v₁ = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}. $$

Физический смысл первой космической скорости:
Первая космическая скорость позволяет телу на поверхности планеты двигаться по круговой орбите, преодолевая гравитацию, но не покидая зону притяжения планеты (для этого нужна вторая космическая скорость). Она зависит от массы и радиуса планеты:
− Чем больше масса планеты ($M$), тем сильнее её гравитационное притяжение, и тем выше должна быть скорость ($v₁$) для выхода на орбиту.
− Чем больше радиус планеты ($R$), тем меньше скорость, так как сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Применение формулы к задаче:
Для расчета первой космической скорости на различных планетах, нам даны:
− $M$ — масса планеты,
− $R$ — радиус планеты.

Гравитационная постоянная $G$ является универсальной величиной, поэтому её значение ($6,67430 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3 \text{кг}^{-1} \text{с}^{-2}$) будет одинаково для всех планет.

Для каждой планеты (Марс, Сатурн, Уран) нужно подставить значения массы $M$ и радиуса $R$ в формулу:
$$ v₁ = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R}}. $$

После подстановки и вычислений для каждой планеты получится значение первой космической скорости в метрах в секунду ($м/с$).