Чему равна первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которой в 2 раза больше, чем у Земли?

Для решения задачи о первой космической скорости необходимо рассмотреть теоретические основы, которые лежат в основе этого понятия.

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало спутником планеты, двигаясь по круговой орбите у её поверхности. Эта скорость определяется как скорость, при которой сила тяжести, действующая на тело, обеспечивает ему центростремительное ускорение, необходимое для кругового движения.

Основные физические законы и формулы, которые нужны для анализа:

1. Сила всемирного тяготения:
   Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения $ F $ между двумя телами определяется формулой:
   $$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, $$
   где:

   • $ G $ — гравитационная постоянная ($ G \approx 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 $),
   • $ m_1 $ — масса первого тела (в данном случае тела на орбите),
   • $ m_2 $ — масса второго тела (в данном случае планеты),
   • $ r $ — расстояние между центрами масс тел.

2. Центростремительное ускорение:
   При круговом движении тело испытывает центростремительное ускорение $ a_c $, которое направлено к центру окружности. Это ускорение выражается через скорость $ v $ тела и радиус орбиты $ r $:
   $$ a_c = \frac{v^2}{r}. $$

3. Сила тяжести и центростремительное ускорение:
   Для тела, движущегося по круговой орбите у поверхности планеты, сила тяжести $ F $ равна центростремительной силе, вызывающей ускорение:
   $$ F = m \cdot a_c, $$
   где $ m $ — масса тела.

Подставляя выражение для $ a_c $, получаем связь между силой тяжести и скоростью:
$$ G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}, $$
где $ M $ — масса планеты. Здесь масса тела $ m $ сокращается.

1. Формула первой космической скорости: Из уравнения выше выводится формула для первой космической скорости: $$ v_1 = \sqrt{\frac{G M}{r}}, $$ где:
   • $ v_1 $ — первая космическая скорость,
   • $ G $ — гравитационная постоянная,
   • $ M $ — масса планеты,
   • $ r $ — радиус планеты.

Теперь рассмотрим условия задачи: масса планеты $ M $ и радиус $ R $ данной планеты в 2 раза больше, чем у Земли. Пусть масса Земли равна $ M_{\text{З}} $, а радиус Земли — $ R_{\text{З}} $. Тогда для новой планеты:
$$ M = 2 M_{\text{З}}, \quad R = 2 R_{\text{З}}. $$

Подставим эти значения в формулу первой космической скорости:
$$ v_1 = \sqrt{\frac{G M}{R}}. $$

Заменим $ M $ и $ R $ параметрами планеты:
$$ v_1 = \sqrt{\frac{G (2 M_{\text{З}})}{2 R_{\text{З}}}}. $$

Далее можно упростить выражение для вычисления первой космической скорости, но это уже часть решения задачи, которую мы здесь не рассматриваем.