Тело движется вокруг Земли со скоростью 1 км/с. Радиус орбиты 384 000 км. Чему равна масса Земли?

Для решения задачи о массе Земли, основываемся на законах небесной механики и классической механики, а именно на законе всемирного тяготения Ньютона и формуле центростремительного ускорения.

1. Закон всемирного тяготения:
   Закон формулируется как:
   $$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, $$
   где:

   • $ F $ — сила притяжения между двумя телами,
   • $ G $ — гравитационная постоянная ($ G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н·м}^2/\text{кг}^2 $),
   • $ m_1 $ — масса первого тела (в данном случае масса Земли),
   • $ m_2 $ — масса второго тела (в данном случае масса движущегося тела),
   • $ r $ — расстояние между центрами тел (радиус орбиты).

2. Центростремительное ускорение:
   Тело, движущееся по круговой орбите, испытывает центростремительное ускорение, которое определяется как:
   $$ a_c = \frac{v^2}{r}, $$
   где:

   • $ a_c $ — центростремительное ускорение,
   • $ v $ — линейная скорость тела,
   • $ r $ — радиус орбиты.

3. Связь между силой тяжести и центростремительным ускорением:
   Для тела, движущегося по круговой орбите, гравитационная сила выполняет роль центростремительной силы. Это можно записать как:
   $$ F = m_2 a_c, $$
   где:

   • $ m_2 $ — масса тела на орбите,
   • $ a_c $ — центростремительное ускорение.

Подставляя $ a_c $ из формулы центростремительного ускорения:
$$ F = m_2 \frac{v^2}{r}. $$

1. Сравнение двух выражений для силы:
   Гравитационная сила ($ F $) также выражается через закон всемирного тяготения:
   $$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}. $$
   Приравниваем два выражения для силы:
   $$ m_2 \frac{v^2}{r} = G \frac{m_1 m_2}{r^2}. $$

2. Упрощение:
   Масса тела $ m_2 $ сокращается (если $ m_2 \neq 0 $), и получаем:
   $$ \frac{v^2}{r} = G \frac{m_1}{r^2}. $$

3. Решение для массы Земли:
   Умножаем обе стороны на $ r^2 $:
   $$ v^2 \cdot r = G \cdot m_1. $$
   Отсюда выражаем массу Земли ($ m_1 $):
   $$ m_1 = \frac{v^2 \cdot r}{G}. $$

4. Подстановка данных:
   Для решения задачи нужно подставить следующие данные:

   • $ v = 1 \, \text{км/с} = 1000 \, \text{м/с} $,
   • $ r = 384000 \, \text{км} = 384000 \times 10^3 \, \text{м} $,
   • $ G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н·м}^2/\text{кг}^2 $.

После подстановки и вычислений вы сможете найти массу Земли.