Искусственный спутник Земли находится на круговой орбите, удалённой от поверхности Земли на 220 км. Определите скорость спутника и его период обращения.

Для решения задачи определим все необходимые теоретические аспекты и физические законы, которые позволят найти скорость спутника и его период обращения.

1. Закон всемирного тяготения Согласно закону всемирного тяготения, два тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами масс. Это выражается формулой:

$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, $$

где:
− $F$ — сила гравитационного притяжения,
− $G$ — гравитационная постоянная ($ G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2 $),
− $m_1, m_2$ — массы тел,
− $r$ — расстояние между центрами масс тел.

В данной задаче $m_1$ — масса Земли ($M = 5.97 \cdot 10^{24} \, \text{кг}$), а $m_2$ — масса спутника.

1. Центростремительное ускорение Для спутника, находящегося на круговой орбите, сила тяжести обеспечивает центростремительное ускорение, которое заставляет спутник двигаться по круговой траектории. Центростремительная сила выражается как:

$$ F_{\text{ц}} = m \frac{v^2}{r}. $$

При этом сила тяжести и центростремительная сила равны:

$$ F = F_{\text{ц}}, $$

что приводит к равенству:

$$ G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}. $$

Здесь:
− $v$ — скорость спутника,
− $r$ — расстояние от центра Земли до спутника.

Заметим, что масса спутника $m$ сокращается, и остаётся выражение для скорости:

$$ v = \sqrt{\frac{G M}{r}}. $$

1. Выражение радиуса орбиты Радиус $r$ орбиты спутника равен сумме радиуса Земли $R_{\text{З}}$ и высоты $h$ орбиты над поверхностью Земли:

$$ r = R_{\text{З}} + h. $$

Радиус Земли $R_{\text{З}}$ приблизительно равен $6,371 \, \text{км} = 6.371 \cdot 10^6 \, \text{м}$. Высота орбиты $h = 220 \, \text{км} = 2.2 \cdot 10^5 \, \text{м}$.

1. Период обращения Период обращения $T$ (время, за которое спутник совершает полный оборот вокруг Земли) связан с его скоростью и длиной орбиты. Длина окружности орбиты равна:

$$ L = 2 \pi r. $$

Период можно найти, разделив длину орбиты на скорость:

$$ T = \frac{L}{v} = \frac{2 \pi r}{v}. $$

Можно подставить выражение для скорости $v$ и получить:

$$ T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{G M}{r}}}. $$

Упростим выражение:

$$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}. $$

Таким образом, период обращения зависит от радиуса орбиты $r$, гравитационной постоянной $G$ и массы Земли $M$.

1. Совокупные формулы для решения задачи Теперь у нас есть все нужные формулы:
2. Скорость спутника: $$ v = \sqrt{\frac{G M}{r}}, $$
3. Период обращения спутника: $$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}. $$

Все величины:
− $G = 6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2$,
− $M = 5.97 \cdot 10^{24} \, \text{кг}$,
− $R_{\text{З}} = 6.371 \cdot 10^6 \, \text{м}$,
− $h = 2.2 \cdot 10^5 \, \text{м}$,
− $r = R_{\text{З}} + h$.

Теперь вы можете подставить эти значения в формулы для нахождения скорости $v$ и периода $T$.