Определите направление и модуль скорости, а также ускорение в точках А, В, С, D (рис. 253) колеса автомобиля, движущегося с постоянной скоростью $v_{0} = 20$ м/с, если радиус колеса равен 0,5 м.

рис. 253

Для решения задачи необходимо применить знания о движении вращающихся тел и связать линейную скорость автомобиля с угловой скоростью вращения его колеса. Также важно учитывать особенности движения точек на ободе колеса относительно неподвижной поверхности и центра колеса.

Теоретическая часть:

1. Линейная скорость автомобиля и угловая скорость колеса:

   • Автомобиль движется с постоянной скоростью $ v_0 = 20 \, \text{м/с} $. Эта скорость равна скорости центра колеса относительно дороги.
   • Угловая скорость $ \omega $ колеса связана с его линейной скоростью $ v_0 $ и радиусом $ R $ формулой: $$ \omega = \frac{v_0}{R}, $$ где $ R = 0{,}5 \, \text{м} $ — радиус колеса.

2. Кинематика точки на ободе колеса:
   Движение точки на колесе состоит из двух компонентов:

   • Линейное движение: Колесо движется поступательно со скоростью $ v_0 $, и все точки на колесе имеют эту скорость, направленную горизонтально — в направлении движения автомобиля.
   • Вращательное движение: Точки на ободе вращаются вокруг центра колеса с угловой скоростью $ \omega $. Линейная скорость вращения точки на ободе относительно центра колеса определяется формулой: $$ v_{\text{вращ}} = \omega R. $$

3. Скорость точки относительно дороги:
   Скорость точки на ободе колеса относительно дороги — это сумма векторных скоростей, которые складываются из движений поступательного и вращательного. Результирующая скорость зависит от положения точки на колесе:

   • В верхней точке $ C $: Скорость вращения направлена в ту же сторону, что и поступательная скорость автомобиля. Поэтому результирующая скорость будет максимальной.
   • В нижней точке $ A $: Скорость вращения направлена в противоположную сторону поступательной скорости автомобиля. В этом положении результирующая скорость будет минимальной (равной нулю при условии чистого качения).
   • В точке $ B $ (слева) и точке $ D $ (справа): Скорости вращения направлены вертикально. Эти точки имеют одинаковые скорости, но направления вектора скорости будут отличаться.

4. Ускорение точки на ободе:
   Ускорение точки на ободе колеса является центростремительным и связано с вращательным движением. Любая точка на ободе колеса движется по окружности относительно центра колеса, поэтому изменяется направление её скорости, что приводит к наличию центростремительного ускорения. Центростремительное ускорение определяется формулой:
   $$ a_{\text{ц}} = \frac{v_{\text{вращ}}^2}{R} = \omega^2 R. $$
   Направление центростремительного ускорения всегда указывает к центру окружности — то есть к центру колеса.

5. Анализ направления скорости и ускорения в разных точках:

   • Точка $ C $ (верхняя точка): Скорость точки относительно дороги максимальна, так как скорости поступательного и вращательного движения складываются. Ускорение направлено к центру колеса.
   • Точка $ A $ (нижняя точка): Скорость точки равна нулю (в условии чистого качения), так как поступательное и вращательное движения компенсируют друг друга. Ускорение направлено к центру колеса.
   • Точка $ B $ (левая точка): Скорость точки относительно дороги равна горизонтальной поступательной скорости автомобиля, так как вращательная скорость направлена вертикально. Ускорение направлено к центру колеса.
   • Точка $ D $ (правая точка): Аналогично точке $ B $, скорость точки относительно дороги равна горизонтальной поступательной скорости автомобиля. Ускорение направлено к центру колеса.

6. Итоговые формулы:

   • Линейная скорость вращения точки на ободе: $$ v_{\text{вращ}} = \omega R. $$
   • Результирующая скорость точки на ободе (с учетом направления): $$ v_{\text{рез}} = v_0 \pm v_{\text{вращ}}. $$
   • Центростремительное ускорение точки: $$ a_{\text{ц}} = \omega^2 R. $$