Шарик на нити длиной 20 см равномерно вращается в вертикальной плоскости. Чему равно центростремительное ускорение шарика, если за 2 мин он делает 60 оборотов?

Для решения задачи, связанной с равномерным движением шарика на нити в вертикальной плоскости, необходимо рассмотреть несколько физических концепций и формул, которые помогут понять, как получить нужное значение центростремительного ускорения.

Основные понятия и теоретическая база:

1. Центростремительное ускорение:
   Центростремительное ускорение — это ускорение, направленное к центру кривизны траектории движения тела. Оно возникает при движении по круговой траектории и связано с необходимостью изменения направления скорости тела. Формула для центростремительного ускорения:
   $$ a_c = \frac{v^2}{r}, $$
   где:

   • $ v $ — линейная скорость тела в момент времени,
   • $ r $ — радиус траектории.

2. Связь между угловой скоростью и линейной скоростью:
   Линейная скорость $ v $ связана с угловой скоростью $ \omega $ следующим образом:
   $$ v = \omega r, $$
   где:

   • $ \omega $ — угловая скорость тела, измеряется в радианах в секунду,
   • $ r $ — радиус траектории.

3. Угловая скорость:
   Угловая скорость $ \omega $ показывает, насколько быстро тело вращается вокруг центра. Она рассчитывается по формуле:
   $$ \omega = \frac{2\pi N}{T}, $$
   где:

   • $ N $ — количество оборотов за время $ T $,
   • $ T $ — время, за которое совершено $ N $ оборотов,
   • $ 2\pi $ — полный угол в радианах, соответствующий одному обороту.

4. Период вращения:
   Период $ T_{\text{одного оборота}} $ — это время, за которое тело совершает один полный оборот. Он связан с угловой скоростью:
   $$ T_{\text{одного оборота}} = \frac{1}{f}, $$
   где $ f $ — частота вращения, то есть количество оборотов в единицу времени ($ f = \frac{N}{T} $).

5. Частота вращения:
   Частота вращения $ f $ измеряется в оборотах за секунду и определяется как:
   $$ f = \frac{N}{T}. $$

Последовательность действий:

Для нахождения центростремительного ускорения $ a_c $, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Нахождение радиуса траектории:
   Радиус $ r $ — это длина нити, по которой шарик вращается. В данном случае $ r = 20 \, \text{см} $ или $ r = 0.2 \, \text{м} $.

2. Определение частоты вращения $ f $:
   Используем данные задачи: за $ T = 2 \, \text{мин} = 120 \, \text{с} $ шарик совершает $ N = 60 $ оборотов. Частота вращения $ f $ будет:
   $$ f = \frac{N}{T}. $$

3. Нахождение угловой скорости $ \omega $:
   После определения частоты вращения $ f $, можно найти угловую скорость $ \omega $:
   $$ \omega = 2\pi f. $$

4. Вычисление линейной скорости $ v $:
   Линейная скорость рассчитывается на основе радиуса $ r $ и угловой скорости $ \omega $:
   $$ v = \omega r. $$

5. Нахождение центростремительного ускорения $ a_c $:
   После вычисления линейной скорости $ v $, центростремительное ускорение $ a_c $ можно найти по формуле:
   $$ a_c = \frac{v^2}{r}. $$

Примечания:

• При расчетах важно использовать международную систему единиц (СИ), где длина измеряется в метрах, время — в секундах, угловая скорость — в радианах в секунду, а ускорение — в метрах на секунду в квадрате ($ \text{м/с}^2 $).
• Все промежуточные вычисления должны быть выполнены с достаточной точностью, чтобы избежать ошибки в конечном результате.

Эти теоретические шаги позволяют решить задачу, если подставить все известные данные.