Заднее колесо трактора, диаметр которого равен 120 см, сделало 520 оборотов. Сколько оборотов сделало на том же расстоянии переднее колесо диаметром 64 см?

Для решения задачи, связанной с движением колес трактора, нам необходимо понимать понятие длины окружности, а также взаимосвязь между количеством оборотов колес и их диаметрами.

1. Длина окружности колеса Колесо трактора при движении по поверхности касается земли своей окружностью. Линейная длина окружности колеса определяется формулой: $$ L = \pi \cdot d $$ где:
2. $ L $ — длина окружности,
3. $ d $ — диаметр колеса,
4. $ \pi $ — математическая константа, равная примерно $ 3.14159 $.

Для каждого колеса трактора длина окружности прямо пропорциональна его диаметру.

1. Связь между количеством оборотов и длиной окружности Когда колесо делает один полный оборот, оно перемещается по поверхности на расстояние, равное длине его окружности. Таким образом, если колесо сделало несколько оборотов, общее пройденное расстояние (S) вычисляется как: $$ S = N \cdot L $$ где:
2. $ S $ — пройденное расстояние,
3. $ N $ — количество оборотов колеса,
4. $ L $ — длина окружности колеса.

Для заднего колеса трактора диаметр известен, равно как и количество оборотов. Мы можем найти пройденное расстояние, используя эту формулу.

1. Равное расстояние переднего и заднего колес Так как оба колеса трактора движутся вместе, они проходят одинаковое расстояние $ S $. Это означает, что расстояние, пройденное задним колесом, равно расстоянию, пройденному передним колесом. Таким образом, для переднего колеса можно записать: $$ S = N_{\text{передн}} \cdot L_{\text{передн}} $$ где:
2. $ N_{\text{передн}} $ — количество оборотов переднего колеса,
3. $ L_{\text{передн}} $ — длина окружности переднего колеса.

Поскольку длина окружности переднего колеса также зависит от его диаметра, мы можем выразить $ L_{\text{передн}} $ через диаметр переднего колеса:
$$ L_{\text{передн}} = \pi \cdot d_{\text{передн}}. $$

1. Связь между оборотами заднего и переднего колес Подставив значения длины окружности и расстояния в формулы, мы получим: $$ N_{\text{задн}} \cdot L_{\text{задн}} = N_{\text{передн}} \cdot L_{\text{передн}}. $$ Или, заменяя длину окружности на выражение через диаметр: $$ N_{\text{задн}} \cdot (\pi \cdot d_{\text{задн}}) = N_{\text{передн}} \cdot (\pi \cdot d_{\text{передн}}). $$

Учитывая, что $ \pi $ — одинаковое для обоих колес, его можно сократить:
$$ N_{\text{задн}} \cdot d_{\text{задн}} = N_{\text{передн}} \cdot d_{\text{передн}}. $$

Отсюда можно выразить количество оборотов переднего колеса:
$$ N_{\text{передн}} = \frac{N_{\text{задн}} \cdot d_{\text{задн}}}{d_{\text{передн}}}. $$

1. Постановка задачи В задаче указаны:
2. Диаметр заднего колеса $ d_{\text{задн}} = 120 \, \text{см}, $
3. Количество оборотов заднего колеса $ N_{\text{задн}} = 520, $
4. Диаметр переднего колеса $ d_{\text{передн}} = 64 \, \text{см}. $

Необходимо найти $ N_{\text{передн}} $ — количество оборотов переднего колеса. Подставляя значения в формулу, можно вычислить результат.