При равномерном движении по окружности радиусом 0,1 м тело совершает 30 оборотов в минуту. Чему равно центростремительное ускорение?

Чтобы решить задачу, вначале нужно понять теоретическую основу, связанную с движением тела по окружности и центростремительным ускорением.

Равномерное движение по окружности — это движение, при котором тело движется с постоянной по модулю скоростью, но при этом постоянно меняет направление движения. Это значит, что траектория тела является окружностью, а вектор скорости в любой момент времени направлен по касательной к этой окружности.

Центростремительное ускорение — это ускорение, которое направлено к центру окружности и вызывает изменение направления скорости тела при его движении по окружности. Оно связано с кривизной траектории, но не изменяет величину скорости, поскольку направление ускорения в данном случае перпендикулярно вектору скорости.

Формула центростремительного ускорения выглядит следующим образом:

$$ a_c = \frac{v^2}{R}, $$

где:
− $ a_c $ — центростремительное ускорение (в м/с²),
− $ v $ — линейная скорость тела при его движении по окружности (в м/с),
− $ R $ — радиус окружности (в метрах).

В данной задаче нам известен радиус $ R = 0,1 $ м, но линейная скорость $ v $ пока неизвестна. Чтобы её найти, используем связь между линейной и угловой скоростью.

Линейная скорость $ v $ связана с угловой скоростью $ \omega $ следующим образом:

$$ v = \omega \cdot R, $$

где:
− $ \omega $ — угловая скорость тела (в рад/с),
− $ R $ — радиус окружности.

Угловая скорость $ \omega $ определяется как:

$$ \omega = \frac{2\pi}{T}, $$

где:
− $ T $ — период обращения, время, за которое тело совершает один полный оборот (в секундах),
− $ 2\pi $ — полный угол в радианах (эквивалент одному обороту).

Также угловую скорость можно выразить через частоту обращения $ f $ — количество оборотов, совершаемых за единицу времени:

$$ \omega = 2\pi f, $$

где:
− $ f $ — частота обращения (в с⁻¹, также называемая герцами).

Частота обращения $ f $ связана с периодом $ T $ следующим образом:

$$ f = \frac{1}{T}. $$

Частота обращения тела в задаче дана косвенно: оно совершает 30 оборотов в минуту. Чтобы перевести это в частоту $ f $ в единицах с⁻¹, нужно перевести минуты в секунды. Поскольку 1 минута = 60 секунд, частота $ f $ будет равна:

$$ f = \frac{\text{количество оборотов}}{\text{время в секундах}} = \frac{30}{60} = 0,5 \, \text{с}^{-1}. $$

Теперь можно определить угловую скорость $ \omega $:

$$ \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 0,5 = \pi \, \text{рад/с}. $$

После этого вычисляем линейную скорость $ v $:

$$ v = \omega \cdot R = \pi \cdot 0,1 = 0,1\pi \, \text{м/с}. $$

И, наконец, подставляем значение $ v $ и $ R $ в формулу центростремительного ускорения:

$$ a_c = \frac{v^2}{R}. $$

Для этого понадобится возвести $ v $ в квадрат и разделить на $ R $. На этом теоретическая часть завершена, и задача готова к решению с подстановкой численных значений.