При точении деталей скорость резания достигает 240 м/мин. На какое число оборотов в минуту при этом нужно включить шпиндель токарного станка, если диаметр детали 100 мм?

Для решения задачи на определение числа оборотов шпинделя (n), который обеспечивает заданную скорость резания (V) при известном диаметре детали (d), потребуется понимание физической зависимости между этими величинами.

1. Скорость резания.
   Скорость резания — это линейная скорость движения точки на поверхности детали относительно режущего инструмента. Она измеряется в метрах в минуту (м/мин) и обозначается латинской буквой $ V $.

2. Связь между линейной и угловой скоростью.
   Линейная скорость $ V $ точки на поверхности детали при её вращении однозначно связана с частотой вращения шпинделя (то есть числом оборотов в минуту, $ n $) и диаметром детали $ d $. Полный путь точки на поверхности детали за один оборот равен длине окружности, которая определяется формулой:
   $$ L = \pi \cdot d, $$
   где $ \pi $ — математическая константа (приблизительно равная 3.14159), $ d $ — диаметр окружности.

3. Вывод формулы для скорости резания.
   Если деталь вращается с частотой $ n $ оборотов в минуту, то за одну минуту точка на её поверхности проходит путь, равный:
   $$ S = n \cdot L = n \cdot \pi \cdot d, $$
   где $ S $ — полный путь, пройденный точкой на окружности за одну минуту.

Скорость резания $ V $ — это и есть пройденный путь $ S $, но уже выраженный как линейная скорость:
$$ V = n \cdot \pi \cdot d. $$

1. Выражение для частоты вращения.
   Из вышеприведённой зависимости можно выразить частоту вращения $ n $ через скорость резания $ V $ и диаметр детали $ d $:
   $$ n = \frac{V}{\pi \cdot d}. $$

2. Единицы измерения.
   При подстановке значений в формулу важно, чтобы все единицы измерения соответствовали между собой:

   • $ V $ в метрах в минуту (м/мин),
   • $ d $ в метрах (м).

Если диаметр детали дан в миллиметрах (мм), его необходимо перевести в метры, поделив на 1000:
$$ d_{\text{метры}} = \frac{d_{\text{мм}}}{1000}. $$

Тогда формула для частоты вращения шпинделя принимает следующий вид:
$$ n = \frac{V}{\pi \cdot \left(\frac{d}{1000}\right)}. $$

Упростим это выражение:
$$ n = \frac{1000 \cdot V}{\pi \cdot d}, $$
где $ V $ — скорость резания (м/мин), $ d $ — диаметр детали (мм).

1. Заключение. Для определения числа оборотов в минуту необходимо подставить известные значения $ V $ (скорость резания) и $ d $ (диаметр детали) в приведённую формулу.